Matematik analiz va differensial tenglamalar

1.2. Metrik fazoda yakinlashish tushunchasi

Ta’rif. (X, ) metrik fazoda biror {x_n} ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Agar n→∞ da _{ } bo‘lsa, bu ketma-ketlik X fazoniig x elementiga yaqinlashadi deyiladi va _{ } yoki _{ } orqali belgilanadi.
Bu x nuqta {x_n} ketma-ketlikning limiti, deyi­ladi.
1-teorema: Har bir yaqinlashuvchi ketma-ketlik birgina limitga ega.
Isbot. Darhaqiqat, _{ } va _{ } bo’lsin. U holda uchburchak aksiomasiga muvofik,

Ammo bu tengsizlikning o’ng tomoni _{ } da nolga intiladi, demak, _{ }= 0, ya’ni x = u.
2-teorema: _{ } masofa x va u elementlarning uzluksiz funksiyasi, ya’ni agar _{ } va _{ } bo‘lsa, u holda

Isbot. Ixtiyoriy to’rtta x, u, z, i ∈ X nuqta uchun
_{ } (1.2.1)
tengsizlik o’rinli xaqiqatan ham, uchburchak aksiomasidan foydalanib,
_{ } (1.2.2)
tengsizliklarni yozishimiz mumkin. Bundan

Bu tengsizlikda x, u bilan mos ravishda z, u ning urinlarini almashtirilsa,
_{ } (1.2.3)
tengsizlik xosil bo‘ladi. (2) va (3) dan (1) kelib chiqadi. (1) dan (z va u ni mos ravishda x_n va u_n bilan almashtirilsa) teoremaning shartiga ko’ra

Bundan

Quyidagi da’vo o’z-o‘zidan ravshan.
3-teorema: Agar {x_n} ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikning ixtiyoriy _{ } qism ketma-ketligi ham shu nuqtaga yakanlashadi.
4-teorema: {x_n} ketma-ketlik x nuqtaga yaqin­lashsa va x₀∈ X aniq bir nuqta bo‘lsa, u holda _{ } sonlar to’plami chegaralangan bo‘ladi.
Isbot. _{ } yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlik bo’lganligi uchun u chegaralangan bo‘ladi; uning yo’qori chegarasini M bilan belgilasak, u holda uchburchak aksiomasiga ko’ra

Endi ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nosini ko’rib chiqamiz.
1-misoldagi fazodan olingan biror ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun biror nomerdan boshlab bu ketma-ketlikning hamma elementlari bir-biriga teng bo’lishi kerak
2. Rⁿ fazodan olingan {x_p} ketma-ketlikning x elementga yaqinlashishi uchun x_p vektor koordinatalarining mos ravishda x vektor koordinatalariga yaqinlashishi zarur va kifoya. Darhaqiqat, agar Rⁿ da

_{ } va, aksincha.
3. {x_n(t)} ketma-ketlik C[a,b] fazoning elementlaridan tuzilgan va _{ } bo’lsin, ya’ni

Bundan, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday _{ } natural son mavjudki, tϵ[a,b] bo’lganda

Demak, t ∈ [a, b] ning hamma qiymatlari uchun n>n₀ bo’lganda

Bu esa {x_p(t)} ketma-ketlikning x(t) ga tekis yaqinlashishining xuddi o‘zi. Ravshanki, aksincha, {x_n(t)} ket­ma-ketlik [a, b] segmentda x(t) ga tekis yaqinlashsa, u holda {x_p, x) 0. Demak, S [a, b] fazoda metrika ma’nosida yaqinlashish ma’lum tekis yaqinlashish tushunchasi bilan ekvivalent ekan.