Matematik analizga kirish Reja

Funksiya limiti

Ta’rif. Agar f(x) funksiya nuqtaning biron-bir atrofida aniqlangan bo’lib ( nuqtada aniqlangan bo’lishi shart emas) istalgan son uchun shunday son mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x lar (ya’ni istalgan ) uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda x argument ga intilganda f(x) funksiyaning limiti a ga teng deyiladi, (bu hol shaklda ifoda etiladi.)
Ta’rif. Agar bo’lgan istalgan ketma-ketlik uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda x argument ga intilganda f(x) funksiyaning limiti a ga teng deyiladi.
Ta’rif. Agar ( ) bo’lsa, u holda ( ) da f(x) funksiya cheksiz kichik miqdor deyiladi.
Ta’rif. Agar ( ) bo’lsa , u holda ( ) da f(x) funksiya cheksiz katta miqdor deyiladi.
Limit hisoblash qoidalari
va bo’lsin, u holda
(a)
(b)
(c)
(d) (r ixtiyoriy haqiqiy son va aniqlanganda)
(e) Agar va bo’lsa, u holda f(g(x)) murakkab funksiya uchun
Misol. Quyidagi limitlarni hisoblang:
(a) (b)
Yechish. (a) Ko’rinib turibdiki, kasrning surat va maxraji da 0 ga intiladi. Kasrning surat va maxrajini ifodaga ko’paytirib, irratsionallikdan qutqaramiz va o’xshash hadlarni ixchamlaymiz.

Barcha (va ) berilgan funksiya ifodaga teng bo’lib, u ga intilganda ga intiladi.


Bir va ko’p o’zgaruvchili funksiyalar differensial hisobi
Ta’rif. M( ) nuktada differensiallanuvchi i=f ( ) funksiyaning di differensiali deb bu funksiyaning M nuktadagi orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan chizikli bosh kismiga aytiladi.
Agar differensiallanuvchi funksiya orttirmasining (1) kurinishdagi xamma koeffisentlari nolga teng bulsa, u xolda funksiyaning M nuktadagi di differensiali nolga teng deb xisoblanadi. Shunday kilib, M nuktada differensiallanuvchi i=f( ) funksiyaning di differensiali deb, ushbu ifodaga aytiladi:
(2)
4-teoremadan foydalanib, di differensialning (2) ifodasini kuyidagicha yozish mumkin:
(3)
Endi erkli uzgaruvchi x_i ning dx_i differensiali tushunchasini kiritamiz. Erkli uzgaruvchi x_i ning differensiali dx_i sifatida ixtiyoriy ( ga boglik bulmagan) sonni tushunish mumkin.
Bundan keyin bu sonni erkli uzgaruvchi x_i ning ortirmasi x_i ga teng kilib olishga kelishamiz.
Bu kelishuv bizga (3) formulani kuyidagi kurinishda yozishga imkon
beradi:
(4)
(4) formula fakat argumentlari erkli uzgaruvchi bulgandagina isbot etilganini ta’kidlab utamiz. Birok (4) formula argumentlari erkli uzgaruvchi bulmagan argumentlarning uzi biror yangi uzgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bulgan xolda xam urinli ekanligini isbotlaymiz.