Математика институти

Муаммонинг ўрганилганлик даражаси. Тармоқланувчи жараёнлар давомийлиги эҳтимоллигининг асимптотасини ўрганиш бўйича дастлабки натижалар А.Колмогоров, Н.Дмитриев, Б.Севастьянов, С.Хиткот, Е.Сенета, Д.Вир-Джонс, А.Нагаев ва Р.Мухамедханова ишларида олинган. Қаралаётган жараённинг мусбат траекторияси бўйича заррачалар сони тақсимоти учун дастлабки лимит теоремалар эса А.Яглом, Т.Харрис, Дж.Ламперти ва П.Ней ҳамда Б.Севастьянов ишларида исботланган. Дж.Ламперти ва П.Ней ўз ишларида траекторияси узоқ келажаккача давом этувчи Гальтон-Ватсон жараёнини Q-жараён номи билан киритди ва унинг хоссаларини ўрганишди. В.Чистяков томонидан узлуксиз вақтли Марков тармоқланувчи жараёнлари учун дастлабки локал лимит теоремалар исботланди. Санаб ўтилган ишларда битта заррача бевосита авлодлари сони тақсимотининг учинчи ва тўртинчи тартибли чекли факториал моментларга эга бўлиш шартлари талаб этилган.
В.Золотарёв илк бор классик теоремалар натижаларини битта заррача авлодлари сони тақсимотининг иккинчи тартибли моментни чекли бўлиш шартидан воз кечган ҳолда яхшилашда Карамата маъносидаги регуляр ўзгарувчи функциялар назариясининг қўлланилиш имкониятларини кўрсатиб берди. У инфинитезимал ҳосил қилувчи функциясининг “думи” 1 нуқтада
7
γ ∈ (1,2] кўрсаткич билан регуляр ўзгарувчи бўлган критик Марков
тармоқланувчи жараёнлари учун А.Яглом ва В.Чистяков теоремаларини исботлади. В.Золотарёвнинг теоремалари олдинги натижаларни шу маънода

умумлаштирадики,
γ ∈ (1,2]
сон чекли моментнинг тартибини билдиради.

Кейинчалик Р.Слэйк ўз ишларида Гальтон-Ватсон тармоқланувчи жараёни учун В.Золотарёв натижаларининг аналогларини исботлади. С.Нагаев ва

В.Уочтель томонидан эълон қилинган ишда эса А.Яглом теоремаси бўлган ҳол учун исботланиб, Р.Слэйк натижалари яхшиланди.
γ = 1

Гальтон-Ватсон жараёни эволюциясида иштирок этган барча авлодлар
заррачалари умумий сонининг асимптотик хоссалари Д.Кеннеди, А.Пэйкс, В.Ватутин ва С.Сагитов, А.Карпенко ва С.Нагаев ишларида тадқиқ этилди.
Тармоқланувчи жараёнларнинг яна бир муҳим бўлимини иммиграцияли жараёнлар ташкил этади. Иммиграцияли жараёнлар, узлуксиз вақтли ҳол учун, илк бор Б.Севастьянов томонидан таърифланган. Кейинчалик, С.Хиткот бу моделни дискрет вақтли ҳол учун киритди. Е.Сенета эълон қилган ишларида иммиграцияли Гальтон-Ватсон жараёни инвариант ўлчовларининг ҳосил қилувчи функциясини қаноатлантирувчи функционал тенгламаларни топди. А.Зубков иммиграцияли жараённинг яшаш даврини ўрганди. А.Пэйкс ўз тадқиқотларида иммиграцияли Гальтон-Ватсон жараёни учун локал лимит теоремалар исботлади ва муайян шартларда жараённинг ўтиш эҳтимолликлари чексизликда регуляр ўзгаришини кўрсатди. И.Бадалбаев ва И.Рахимов томонидан нотекис иммиграцияли жараёнларни ўрганиш масаласи илгари сурилди. Ш.Форманов ва Ж.Азимов ҳосил қилувчи функцияси регуляр ўзгарувчи бўлган ва ҳолатларга боғлиқ иммиграцияли Марков тармоқланувчи жараёнлари учун лимит теорема исботлашди. Дж.Ли, Ф.Чэн ва А.Пэйкс эълон қилган ишда Марков тармоқланувчи жараёнлари
учун λ -инвариант ўлчовнинг мавжудлиги ва ягоналиги ҳақидаги теоремалар исботланди. Я.Ҳусанбоев иммиграцияли Гальтон-Ватсон жараёнлари
тебранишларининг детерминистик жараёнларга суст яқинлашишини тадқиқ этди ва бу тебранишлар хоссаларига оид лимит теоремалар исботлади. А.Иксанов ва З.Каблучко жуда фаол иммиграцияли Гальтон-Ватсон жараёнлари учун функционал лимит теоремалар исботлади.