“Matematika tarixidan lavhalar” rubrikasi ostida beriladigan materiallar

Progressiyalar boyicha tematik viktorinalar o’tkazish uchun savollar.
Arifmetik progressiya deb ikkinchisidan boshlab har bir hadi oldingi haddan o’zgarmas в soniga ortib (yoki kamayib) boruvchi ketma-ketlikka aytiladi. Bu в soni arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi. ( turli progressiya uchun har xil bolishi mumkin). Boshqacha qilib aytganda, arfmetik progressiya –a₁ va d berilib, n≥1 uchun a_n+1=a_n+d qoidaga bo’ysinuvchi ketma-ketlikdir.
Arifmetik progressiyaning ikkinchisidan boshlab hadlar oldingi va keyingi ikki hadning arifmetik o’rtasiga teng.
A_n=(a_n-1+a_n+1)/2
Bu xossa ketma=ketlik-arifmetik progressiya nomida aksini topgan. Quyidagi formulalar o’rinli (S_n orqali arifmetik progressiyaning boshlang’ich n ta hadi yig’indisi belgilangan), yani
a_n= a₁₊(n-1)d (1)
S_n=(((2a₁+(n-1))d/2)n (2)
S_n⁼((a₁+a_n)/2)n (3)
(3) formula nemis matematigi K.F. Gauss (1777-1855) hayotidan qiziq bir lavha bilan bog’liq. U 9 yoshligida o’qituvchi boshqa sinf o’quvchilarining daftarlarini tekshirib chiqish niyatida darsda quyidagi masalani yechishni buyuradi: “ 1 dan 40 gacha bo’lgan barcha natural sonlar yig’indisini hisoblang: 1+2+3+4+5+…+40”.
Oradan bir daqiqa o’tar-o’tmas o’quvchilardan biri (Gauss) xitob qiladi: “Men yechib bo’ldim”. O’quvchilarning ko’pchiligi uzoq hisob-kitobdan so’ng noto’g’ri natija chiqarishdi. Gaussning daftarida esa faqat birgina, ammo to’g’ri son yozilgan edi.
Mana uning mulohazalari sxemasi. Har bir juftdagi sonlar yig’indisi 41.
1+40=41, 2+39=41, 3+38=41, …, 20+21=41
Bunday juftlar 20 ta, shuning uchun izlanayotgan yig’indi 41∙20=820 ga teng.
Arifmetik progressiyalar va ularning xossalarini matematiklar qadim zamonlardayoq o’rgana boshlashgan.
Geometrik progressiya deb ikkinchisidan boshlab har bir hadi oldingisidan o’zgarmas q≠0 soniga ko’paytirib hosil qilinadigan (b_n) ketma-ketlikka aytiladi.Buunda q soni progressiyaning maxraji deyilib, u turli progressiya uchun har xil bo’la oladi. Boshqacha qilib aytganda, geometrik nprogressiya –b₁ va q berilgan, n≥1 uchun b_n+1=q∙b_n qoidaga buysunuvchi ketma-ketlikdir. Agar b₁=0 bo’lsa, faqat nollardan iborat ketma-ketlik hosil bo’lib, e’tiborga loyiq emas. Shu tufayli geometrik progressiya ta’rifiga odatda b₁≠0 shartni ham qo’shishadi.
1. Qanday holda arifmetik progressiyaning chekli sondagi yig’indisi nolga teng? (Javob: bo’lishi kerak, bunda ).
2. Bir necha arifmetik progressiya mos hadlarining yig’indisidan hosil qilingan ketma – ketlik qanday ketma – ketlik bo’ladi? (Javob:Arifmetik progressiya bo’lib, uning ayirmasi berilgan progressiyalarning ayirmalari yig’indisiga teng bo’ladi.)
3. Agar turli tomonli uchburchakning bir burchagi 60^o gat eng bo’lsa, u uchburchakning burchaklari arifmetik progressiya tashkil qilishini ko’rsating. (Javob: Uchburchakning bir burchagi 60^o bo’lsa, qolgan ikki burchagining yig’indisi 120^o bo’ladi, ulardn bittasi 60^o – x bo’lsa, ikkinchisi 60^o + x bo’lib, x ning 60^o dan kichik har qanday qiymatida ham 60^o – x; 60 ^o + x burchaklar arifmetik progressiya tashkil etadi.)
4. Geometrik progressiya hadlarining yig’indisi nolga teng bo’lishi mumkinm? (Javob: Mumkin, birinchi had a=0 bo’lsa yoki majraji q=-1 va n – juft son bo’lganda.)
5. Geometrik progressiya hadlariga teskari bo’lgan sonlar ketma – ketligi nima tashkil qiladi? (Javob: Geometrik progressiya).
6. Qanday ikki son bir vaqtda ham arifmetik, ham geometric progressiya tashkil qiladi? (Javob: Noldan farqli istalgan ikki son.)
7. Bir vaqtda ham arifmetik, ham geometrik progressiya tashkil qilgan uchta son yozing. (Javob: Bir – biriga teng bo’lgan istalgan uchta son bir vaqtning o’zida ham arifmetik, ham geometric progressiya tashkil qiladi.)
8. Qanday geometric progressiyaning har qaysi ikki hadi ko’paytmasi yana shu progressiyaning hadi bo’ladi? (Javob: Birinchi hadi majrajga teng bo’lgan progressiyaning hadi.)
9. To’g’ri burchakli uchburchakning tomonlari geometric progressiya tashkil qilishi mumkinmi? (Javob: Mumkin, a²+(aq)²=(aq)², q⁴ – q² – 1=0, bundan q= bo’lgan holda.)
10. Uchburchak, to’rtburchak, beshburchak va boshqa ko’pburchaklarning ichki burchaklari yig’indilarini ifodalovchi ketma – ketlik qanday ketma – ketlik bo’ladi? (Javob: Arifmetik progressiya, chunki ular 2’, 4d, 6d, 8d …. ketma – ketlikni hosil qiladi.)