"Matematika" yo’nalishi 2-kurs 19

Kurs ishining maqsadi: Bu esa kelajagimizni yaqqol tasavvur etish, jamiyatimizning ijtimoiy-ma’naviy poydevorini mustahkamlash ehtiyojini tug‘diradi. Demak, galdagi eng asosiy vazifa: yosh avlodni Vatan ravnaqi, yurt tinchligi, xalq farovonligi kabi olijanob tuyg‘ular ruhida tarbiyalash, yuksak fazilatlarga ega, ezgu g‘oyalar bilan qurollangan komil insonlarni voyaga etkazish, jahon andozalariga mos, kuchli bilimli, raqobatbardosh kadrlar tayyorlashdir.
Matematik analiz darslarida Furye qatorlari va funksiyalarni Furye qatoriga yoyish haqida ma’lumotlarni o’rganishdan iborat.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida matematik analizni o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Furye qatorlari.


I BOB
FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH
2.1 Masalaning qo’yilishi. Dirixle integrali
Davri ga teng bo’lgan uzluksiz yoki bo’lakli uzluksiz funksiya berilgan bo’lsin. Quyidagi o’zgarmas miqdorlarni ( funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini) hisoblaymiz:
(1)
va bular yordamida berilgan funksiyaning Furye qatorini tuzamiz:

Eslatma. Agar funksiya ixtiyoriy chekli oraliqda bo’lakli-uzluksiz va shu bilan birga davri bo’lsa, ya’ni bajarilsa, uzunlikdagi oraliq bo’yicha olingan

integralning qiymati α ga bog’liq bo’lmaydi.
Isbotlashda F uzluksiz bo’lgan hol bilan chegaralaymiz. Ravshanki,

Oxirgi integralda almashtirish bajarilsa, u

ga teng bo’ladi. Bu integral yuqoridagi birinchi integraldan faqat ishorasi bilangina farq qiladi. Demak, tekshirilayotgan integral ga bog’liq bo’lmagan

integralga teng ekan. Bu natija ixtiyoriy bo’lakli-uzluksiz funksiya uchun ham yengilgina isbot etiladi.
Keltirilgan eslatmadan biz kelgusida foydalanamiz. Xususan, Furye koeffitsiyentlarini aniqlovchi (1) formulalarda ham integrallar uzunligi ga teng bo’lgan ixtiyoriy oraliq bo’yicha olinishi mumkin. Masalan, quyidagicha yozish mumkin edi:
(1a)
va hokazo.
Yuqoridagi (2) qatorning qandaydir aniq bir nuqtada yaqinlashuvchiligini tekshirish maqsadida uning ushbu

xususiy yig’indisi uchun qulayroq ifoda tuzaylik. a_m, b_m lar o’rniga ularning (1) dagi integral ifodalarini qo’yamiz va o’zgaramas sonlarni integral ishorasi ostiga kiritamiz:

Osongina tekshiriladigan ushbu

ayniyatdan integral ostidagi ifodani almashtirishda foydalanib, yuqoridagi ifodani

ko’rinishga keltiramiz. Bu integralni, odatda Dirixle integrali deb yuritishadi (garchand, u Furye ishlarida avvalroq uchragan bo’lsa ham).
Integral ostidagi ifoda u argumentning davrli funksiyasi bo’lgani uchun va yuqoridagi eslatmaga ko’ra, integrallash oralig’i ni masalan oraliqqa almashtirish mumkin:

Bu integralni almashtirish bilan quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

Endi bu integralni ikki integral yig’indisi qilib yozamiz, ikkinchi integralda o’zgaruvchi ishorasini o’zgartirib uni ham oraliq bo’yicha olingan integralga keltiramiz. Natijada Furye qatorining xususiy yig’indisi uchun ushbu ifodani hosil qilamiz:

Shunday qilib, masala, shu integralning parametr n cheksizlikka intilganda yaqinlashishini tekshirishga keldi. Bu yerda paydo bo’lgan masalaning o’ziga xos tomoni shundaki, uni yechish maqsadida integral ishorasi ostida limitga o’tish qoidasidan foydalanib bo’lmaydi^*.