Матрицалар ва улар устида амаллар

3.Матрицанинг ранги ва уни ҳисоблаш. ўлчовли матрицада сатр ва та устунини ажратамиз, бунда, ва сонлардан кичик ёки уларнинг кичигига тенг бўлиши мумкин. Ажратилган сатр ва устунларнинг кесишувида ҳосил бўлган -тартибли детерминантга матрицанинг -тартибли минори дейилади.
Таъриф. матрицанинг 0 дан фарқли минорларининг энг юқори тартибига матрицанинг ранги дейилади. матрицанинг ранги ёки билан белгиланади.
Матрица рангини бевосита ҳисоблашда кўп сондаги детерминантларни ҳисоблашга тўғри келади. Қуйидаги амаллардан фойдаланиб матрица рангини ҳисоблаш қулайроқ. Матрицада: 1)фақат 0 лардан иборат сатри (устуни)ни ўчиришдан; 2) иккита сатр (устун)нинг ўринларини алмаштиришдан; 3) бирор сатр (устун)нинг элементларини бирор сонга кўпайтириб, бошқа сатр (устун) мос элементларига қўшиш; 4) матрицани транспонирлашдан, унинг ранги ўзгармайди. Бу амалларга одатда элементар алмаштиришлар дейилади.

1-мисол.

матрицанинг рангини ҳисобланг.

Ечиш. матрицанинг рангини ҳисоблаш учун элементар алмаштиришлардан фойдаланамиз. Биринчи сатр элементларини иккинчи сатр элементларига, биринчи сатр элементларини (–2)га кўпайтириб, учинчи сатр элементларига, ҳамда учинчи сатр элементларини тўртинчи сатр элемнтларига қўшиб қуйидаги матрицани ҳосил қиламиз:

Кейинги матрицада 2-сатрини (–1) га кўпайтириб тўртинчи сатрига қўшсак

матрица ҳосил бўлади. Бу матрицада

бўлиб, тўртинчи тартибли минорлар 0 га тенг. Шундай қилиб, берилган матрицанинг ранги 3 га тенг.

4. Тескари матрица ва уни топиш. квадрат матрица учун бирлик матрица бўлса, квадрат матрица матрицага тескари матрица дейилади. Одатда, матрицага тескари матрица билан белгиланади.
Теорема: квадрат матрица тескари матрицага эга бўлиши учун матрицанинг детерминанти 0 дан фарқли бўлиши зарур ва етарлидир. (Бу теоремани исботсиз келтирдик, унинг исботини кенгроқ дастурли курслардан топиш мумкин, масалан, В.Е.Шнейдер ва бошқалар. «Олий математика қисқа курси» 1том. Т. Ўқитувчи. 1985. 407 б.)
квадрат матрица учун бўлса , унга тескари бўлган ягона матрица мавжуд.

матрицага тескари матрица

формула билан топилади. Бунда мос равишда элементларнинг алгебраик тўлдирувчилари ва .

Тескари матрицани топишга мисол қараймиз.
2-мисол. Ушбу

матрицага тескари матрицани топинг.
Ечиш. Олдин матрицанинг детерминантини ҳисоблаймиз:

Юқоридаги теоремага асосан тескари матрица мавжуд, чунки

яъни, берилган матрица махсусмас матрицадир. ни топиш учун матрица ҳамма элементларининг алгебраик тўлдирувчиларини топамиз:

Тескари матрицани топиш

формуласига асосан

бўлади. тескари матрицанинг тўғри топилганлигини

тенгликнинг бажарилиши билан текшириб кўриш мумкин, ҳақиқатан ҳам,
яъни, бирлик матрица ҳосил бўлади, бу тескари матрицанинг тўғри топилганлигини исботлайди.
Хулоса
Матрицалар ҳақида умумий тушунчалар. Системаларни моделлаштиришда матрицалар алгебраси деган тушунча муҳим аҳамиятга эга . Режалаштириш муаммолари, ялпи маҳсулот, жами меҳнат сарфи, нархни аниқлаш ва бошља масалалар ҳамда уларда компьютерларни қўллаш матрицалар алгебрасини қарашга олиб келади. Ишлаб чиқаришни режалаштириш, моддий ишлаб чиқариш орасидаги мавжуд боғланишларни ифодалашда ва бошқаларда, маълум даражада тартибланган ахборотлар системасига асосланган бўлиши лозим. Бу тартибланган ахборотлар системаси муайян жадваллар кўринишида ифодаланган бўлади. Мисол ўрнида моддий ишлаб чиқариш тармоқлари орасидаги ўзаро боғлиқлик ахборотлари системасини қарайлик. Ишлаб чиқариш 5 та (масалан, машинасозлик, электроэнергия, метал, кўмир, резина ишлаб чиқариш саноатлари) тармоқдан иборат бўлсин. Бунда улар орасидаги ўзаро боғлиқлик 1-жадвал билан ифодалансин.

Фойдланилган адабиётлар

1. 
   Aim uz
   
2. 
   Ziyo net
   
3. 
   Arxiv uz