Mavzu: Irratsional va trassendent sonlar. Reja: Irratsional sonlar tarixi

Algebraik sonlar

Irratsional bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan algebraik sonlar umumiy shakli quyidagicha bo'lgan polinom tenglamalarining echimlari:

ga_n xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 +…. + a₁x + a_yoki = 0

Polinom tenglamasining misoli quyidagicha kvadrat tenglama:

x³ - 2x = 0

√2 irratsional soni bu tenglamaning echimlaridan biri ekanligini ko'rsatish oson.

Transandantal raqamlar

Boshqa tomondan, transsendent sonlar, ular mantiqsiz bo'lsa ham, hech qachon polinom tenglamasining echimi sifatida paydo bo'lmaydi.

Amaliy matematikada tez-tez uchraydigan transandantal raqamlar $ p $, uning aylanaga va e raqamiga yoki tabiiy logaritmalarning asosi bo'lgan Eyler soniga bog'liqligi bilan bog'liq.

Algebraik va transtsendent sonlar.

Transsedent sonlar xossalari

1.     Agar t – transsendent son bo ‘lsa, u holda –t va 1/t lar ham transsendent sonlar bo ‘ladi.

2.     Agar a – algebraik son, t – transsendent son bo ‘lsa u holda a+t, a-t, at, a/t, t/a sonlar ham transsendent son bo ‘ladi .

3.     Agar t – transsendent son, n – butun son bo ‘lsa, u holda  va    transsendent son bo ‘ladi.

Masalan, c va d lar har xil nomanfiy butun sonlar bo ‘lsin.   irratsional son ekanligini isbotlaymiz.

Yechilishi: Irratsional son haqidagi mulohazalarga asosan isbotlaymiz. Shartga ko‘ra    ifoda 1 dan katta, shuning uchun ham   ifoda 0 dan katta. Teskari faraz qilaylik, ya’ni   ratsional son bo ‘lsin, u holda

, bu yerda a va b lar musbat butun sonlar. U holda    

   bo ‘ladi.

Bu tenglikning ikkala tomonini b darajaga ko‘tarib

 tenglikka ega bo ‘lamiz.

Arifmetikaning asosiy teoremasiga asosan bu tenglik   va   bo‘lgandagina to‘g‘ri bo‘ladi ya’ni,  . Ammo c va d lar har xil sonlar edi, u holda bd  va bc lar ham har xil sonlar bo ‘lishi kerak edi. Demak,   son irratsional son ekan.

Ammo hamma logarifmik ifodalar qatnashgan sonlar transsendent son bo‘lavermaydi. Masalan, 

Irratsional sonlar: algebraik (masalan, ) va transsendent(masalan,  )

Haqiqiy sonlar: algebraik(ratsional va irratsional) va transsendent(hammasi irratsional) sonlar bo‘ladi.

 

 

 

Qo’shimcha materiallar

Sonli ifodalarni kub ildizdan chiqarish muammosini qaraylik.

1-misol:   ni hisoblang.Bu misolni yechish uchun qandaydir sonning kubi   bo`lishi kerakligini bilish kerak. O`sha sonni topish esa birmuncha qiyinchilik tug`diradi. Shu misolni osonroq hal qilish maqsadida biz quyidagi teoremani keltiramiz.

            Teorema: Ixtiyoriy  ,  va   musbat ratsional sonlar uchun shunday   va   musbat ratsional sonlar topiladiki, bunda   shartni qanoatlantiruvchi

                                                                                                            (1)

yoki

                                                            (2)

tengliklar o`rinli bo`ladi, hamda   va   sonlar

tengliklar yordamida aniqlanadi. 

            Isboti: (1) tenglikni isbotlaylik. Buning uchun (1) tenglikning har ikkala tomonini kubga ko`taramiz.

,

.

Hosil bo`lgan tenglikni mos ravishda

kabi yozib olsak teorema isbot bo`ladi.

            Izox.  Yuqoridagi teorema o`rinli bo`lishi uchun   soni imkon qadar ildizdan chiqarilgan bo`lishi  va   ifoda umumiy ko`paytuvchidan holi bo`lishi shart.

Endi yuqoridagi 1-misolni yechamiz.