Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1.3-misol. Ushbu

Koshi masalasining yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishda bo‘ladi. boshlang‘ich shartdan
kelib chiqadi. Bundan foydalanib, berilgan Koshi masalasining

yechimini topamiz. Endi tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini tanlaymiz va boshlang‘ich shartga mos keluvchi Koshi masalasining yechimini olamiz. Quyidagi ayirmani bajaramiz:
.
Agar soni uchun sonini deb tanlasak, u holda tengsizlikning bajarilishidan bahoning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Qaralayotgan misolda yechim Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi. Bundan tashqari ushbu munosabatning bajarilishi- dan, berilgan Koshi masalasining yechimi asimptotik turg‘un bo‘lishi kelib chiqadi.

2. 
   TURG‘UNLIKNI BIRINCHI YAQINLASHISH YORDAMIDA TEKSHIRISH
   

Aytaylik, bizga quyidagi

(1)
ko‘rinishidagi muxtor differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu yerda vektor-funksiyalar bo‘lib, biror sohada uzluksiz differensiallanuvchi vektor-funksiya. Bundan tashqari nuqta (1) sistemaning muvozanat nuqtasi, ya’ni bo‘lsin. U holda vektor-funksiyani nuqta atrofida Teylor formulasidan foydalanib quyidagicha
(2)
yozish mumkin. Bunda qoldiq had Peano ko‘rinishida olingan:
.
1-teorema. Agar A matritsaning barcha xos qiymatlari
(3)
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1) nochiziqli muxtor sistemaning yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi.
Isbot. Berilgan (1) muxtor sistemani nuqtaning atrofida quyidagicha yozish mumkin:
. (4)
Bu yerda
. (5)
Berilgan (1) muxtor differensial tenglamalar sistemasining ushbu
(6)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi oraliqda aniqlangan. Bu yechimni
(7)
ko‘rinishida yozish mumkin. Ma’lumki, bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi uchun quyidagi
,
Koshi masalasining yechimini ushbu
(8)
ko‘rinishida yozish mumkin edi.