Мавзу: Векторлар. Векторлар устида чизиқли амаллар. Икки векторни скаляр кўпайтириш

Vеktоrlarning skalyar kўpaytmasi va uning хоssalari.
ва векторлар вектор фазонинг ихтиёрий икки вектори бўлсин.
Таъриф. векторларнинг узунликлари билан улар орасидаги бурчак косинусини кўпайтиришдан ҳосил қилинган сон бу векторларнинг скаляр кўпайтмаси деб аталади.
векторларнинг скаляр кўпайтмаси ёки кўринишда белгиланади.
Демак, , ( ,^ ).
Икки векторни скаляр кўпайтириш амали қуйидаги хоссаларга эга.
Скаляр кўпайтириш ўрин алмаштириш қонунига бўйсунади:

Исбот. Таърифга кўра
,

Косинус жуфт функция эканлигини эътиборга олсак, бундан Исбот тугади.
Ҳар қандай векторнинг ўз-ўзига скаляр кўпайтмаси бу вектор узунлигининг квадратига тенг:

Исбот. Скаляр кўпайтма таърифидан,
Исбот тугади.
ифода билан белгиланади ва векторнинг скаляр квадрати деб аталади.
У ҳолда тенгликдан векторнинг узунлиги:

Икки векторнинг скаляр кўпайтмаси уларнинг бирининг узунлиги билан иккинчисининг биринчиси йўналишига туширилган проекцияси кўпайтмасига тенг, яъни

Исбот:

(бу ерда ортогонал проекция кўзда тутилган). Исбот тугади.
Скаляр кўпайтириш скаляр кўпайтувчига нисбатан гуруҳланиш қонунига бўйсунади, яъни
бу ерда
Исбот: Юқоридаги хоссаларга кўра

Исбот тугади.
Кўпайтувчи векторлар перпендикуляр бўлса, скаляр кўпайтма нолга тенг:

Исбот: Бу ҳолда
Исбот тугади.
Скаляр кўпайтириш тақсимот қонунига бўйсунади, яъни ҳар қандай векторлар учун
(*)