Методические указания по изучению дисциплины «Теоретическая механика»

Задача 1. На рис.Б.1 изображена кинематическая схема механизма, называемого двойным дифференциалом. На кривошипе III, вращающемся вокруг неподвижной оси АВ, свободно укреплен сателлит 1V, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусами r₁ =6 см и r₂ = 3 см. Колеса сателлита находятся в зацеплении с двумя коническими зубчатыми колесами I и II радиусами R₁ = 12см и R₂=6см, вращающимися вокруг оси АВ, но с кривошипом не связанными. Модули угловых скоростей колес I и II, вращающихся в одном направлении, соответственно равны ω₁ = 4 с^-1 и ω₁₁ = 8 с^-1. Определить угловую скорость кривошипа III и угловую скорость сателлита 1V относительно кривошипа.

Рис.Б.1 Кинематическая схема механизма по условию задачи
Решение. 1. Сателлит IV совершает сложное движение, состоящее из переносного вращательного движения кривошипа III с угловой скоростью ω_е вокруг оси АВ и относительного вращения с угловой скоростью ω_r вокруг оси CD (Рис.Б.1). Необходимо найти скорости ω_е и ω_r. По условию известны модули угловых скоростей колес I и II, поэтому можно найти модули абсолютных (линейных) скоростей точек M₁ и М₂ соприкосновения колес I и II с сателлитом:
υ₁=ω₁ R₁=12*4 = 48 см /с;υ₂ = ω₁₁ R₂=6*8 = 48 см/ с. (Б.1)
Положим для определенности, что колеса I и II вращаются противоположно движению часовой стрелки, если смотреть сверху. Тогда, если смотреть на сателлит справа, векторы υ₁ и υ₂ будут направлены так, как показано на рис.Б.2 При выбранном направлении вращения колес I и II предположим еще, что сателлит IV вращается вокруг оси АВ в том же направлении, что и колеса I, II, а его относительное вращение вокруг своей оси CD совпадает с направлением вращения часовой стрелки, если смотреть справа. Тогда переносные и относительные скорости точек M₁ и М₂ будут направлены так, как показано на Рис.Б.2.

Рис.Б.2 Расчетная схема действия сил, полученная при решении задачи
По теореме о сложении скоростей имеем:
υ_е1 - υ_r1= υ₁ ,υ_е2 + υ_r2= υ₂ , (Б.2)
где υ_е1= ω_е R_1; υ_r1=ω_r r₁;υ_е2= ω₂ R₂;υ_r2=ω_r r₂
Подставляя эти значения в равенства (Б.2), получим:
ω_е R₁ - ω_r r₁= υ_1,,ω_еR₂+ ω_r r₂= υ_2..
Используя исходные данные и ранее найденные значения (Б.1) скоростей v₁ v₂, приходим к системе линейных уравнений относительно искомых угловых скоростей:
или (Б.3)
Решая систему уравнений (Б.3), находим:
ω_е = 6 с^-1, ω_r = 4 с^-1.
Положительные значения угловых скоростей ω_е и ω_r означают, что принятые направления относительного и переносного движений сателлита IV соответствуют действительным.
ПРИЛОЖЕНИЕ В.1

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Обозначение	Наименование	Единица СИ
1	2	3