Методические указания по проведению лабораторно- практических работ по дисциплине «Планирование эксперимента»

Контрольные вопросы:

1. 
   Что означает слово «корреляция»?
   
2. 
   В чем заключается первая задача корреляции ?
   
3. 
   В чем заключается вторая задача корреляции ?
   

Корреляционная таблица с вспомогательными (для расчета) столбцами и строчками

Приложение 1.

Варианты корреляционных таблиц

Лабораторно-практическая работа № 5.

Сравнение двух дисперсий
При проведении и анализе результатов экспериментальных исследова-ний часто приходится сравнивать две партии изделий, показания двух или нескольких приборов, анализировать результати работы однотипных агрегатов, сравнивать результаты исследований двух проб материалов и т.д. Вот некоторью примери подобных ситуаций.

1. 
   Необходимо сравнить показания двух приборов, измеряюших одну и ту же величину, когда этими рабочими средствами измерений получено два ряда наблюдений данной величины Одинакова ли точность измерения одного и того же технологического параметра разными приборами?
   
2. 
   Требуется проверить рабочее средство измерения (т.е. определить, не выходят ли погрешности его измерений за пределы регламентированных зна-чений) с помощью образцового средства измерения. Равно ли математическое ожидание показаний данного прибора действительному значению измеряемого параметра?
   
3. 
   Два агрегата выпускают одну и ту же продукцию. Необходимо сделать вывод о том, какой из них лучше или хуже в каком-либо смысле.
   

Решение подобных задач осушествляется также с использованием аппарата проверки статистических гипотез. Ведь если нам необходимо бьто бы сравнить две случайнне величины X и V, имеюицие нормальное распределение, при известных их математических ожиданиях и дисперсиях М_х; о² и М_у; о_у², то вопрос, очевидно, решался бы достаточно просто. Две случайные величины с нормальным распределением равны между собой (имеют одинаковое распределение, т.е. имеют одну и ту же функцию распределения или плотность распределения , когда равны между собой их математические ожидания и дисперсии , поскольку только эти два параметра полностью определяют нормальное (двухпараметрическое) распределение.
Однако, как это уже неоднократно ранее отмечалось, любой из параметров распределения случайной величины 0 может быть найден лишь по всей генеральной совокупности, т.е. только теоретически при проведении бесконечно большого количества опытов. Практически, по выборке ограниченного объема, исследователь может определить только приближенное значение параметра - его оценку 0*. При этом вероятность того, что оценка 0* совпадет со значением оцениваемого параметра 0, очень мала. Следовательно, даже если равны между собой параметры распределений двух случайннх величин то их оценки скорее всего не будут одинаковнми
Поэтому при сравнении двух случайннх величин обычно приходится вы-сказывать и проверять нулевую гипотезу , при альтернативных гипотезах типа или

При выполнении измерений в различных условиях часто возникает задача сравнения степени разброса (дисперсий) исследуемих параметров (случайных величин).

Таким образом, требуется установить, являются ли выборочные дисперсии S₁²≠S₂² со степенями свободы m₁ и m₂ значимо отличающимися или же они характеризуют выборки, взятью из одной и той же генеральной совокупности или из генеральных совокупностей с равными дисперсиями В этом случае нулевая гипотеза формулируется в виде , т.е. между двумя генеральннми дисперсиями различия нет при заданном уровне значимости а.
Для проверки этой гипотезы используется критерий, основанный на распределении Фишера, зависяшем только от числа степеней свободи m₁ и m₂. Аналитическое выражение критерия Фишера имеет вид
(3.44а)
Плотность распределения величины Fm₁m₂ представленная есть функция

Надо иметь в виду, что скорость возрастания и убывания функции, а также величина и положение максимума зависят от параметров m₁ и m₂.
Соответствуюшая функция распределения величины Fm₁m₂ определяется через плотность распределения


(3.44в)
Сушествуют статистические таблицу как с табулированними значениями функции распределения Фишера для принятого уровня значимости, так и с табулированннми значениями квантилей этого распределения.

Поскольку по условию нуль-гипотезы σ₁² = σ₂², то выражение можно представить как отношение выборочных дисперсий

Если при проверке нулевой гипотезм альтернативной
является гипотеза то применяют одностороннее неравенство

Для альтернативной гипотезы , когда соотношение между
генеральными дисперсиями неизвестно, различие между дисперсиями считают значимым, если выполняется условие

Таким образом, алгоритм решения задачи сводится к следуюшему.
Пусть по результатам испьгганий двух независимых выборок объемом n₁ и n₂ из нормально распределенных совокупностей подсчитанн оценки дисперсий и причем . Требуется проверить предположение (нулевую гипотезу Но) о том, что указаннме выборки принадлежат генеральннм совокупностям с равными дисперсиями.
В соответствии с общим алгоритмом проверки любой статистической гипотезы
1.
2. Возможно два варианта альтернативной гипотезы

Предположить вариант альтернативной гипотезы , конечно
же, возможно, но вряд ли целесообразно при условии, что
3. Используется F-критерий (критерий Фишера) - это отношение двух дисперсий (большей к меньшей), F - статистика поэтому имеет вид
(345)
где
Очевидно, что значения F всегда больше единицы.
4. Выбирается уровень значимости а.
5.Границы критической области можно установить по таблицам квантилей F - распределения (см. [11] или табл. П.4, П.5, а в Microsoft Ехсеl для этого используется функция FРАСПОБР) для числа степеней свободн m₁=n₁-1 и т₂ = п₂ -1 и уровня значимости
• при альтернативной гипотезе уровень значимости равен а/2 и критическая область определяется соотношением F > F_{(а/2)m1> тг};
• при альтернативной гипотезе уровень значимости равен а и критическая область определяется соотношением F > F_{аm1> тг} .
6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что при выполне-
нии одного из неравенств (для различных альтернативних гипотез):

В случае подтверждения нулевой гипотезы, по двум выборочнум дис-персиям производят оценку обшей генеральной дисперсии а
(3-46)
которая может быть использована для дальнейшего анализа опытных данных. Проиллюстрируем применение критерия Фишера на следуюшем примере.
Пример 3.4. Проводятся измерения одной и той же физической величины (температурн, давления, состава газа и т.п.). Первым (старым) измерительным прибором выполнено 200 измерений, которие дали выборочную дисперсию 31²= 3,82, а вторым (новым) сделано только 15 измерений при выборочной дисперсии 5г² = 2,00. Можно ли считать, что разброс в показаниях нового прибора сушественно ниже, чем у старого?
1. Сформулируем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий о².
2. Выберем альтернативную ей гипотезу
Воспользуемся критерием Фишера и рассчитаем статистику этого критерия
4. Для уровня значимости а = 0,05 строим критическую область при m₁=
ПОБР(0,05;199;14) = 2,159361).
5. Подсчитанное значение статистики (Ғ=1,91) не попадает в критическую область (1,91<2,16), следовательно, нулевая гипотеза принимается, т.е. по имеюшимся экспериментальным данным нет достаточных осно-
ваний считать, что результаты измерений нового прибора точнее, чем старого.
Как изменится наш вывод, если мы увеличим число измерений новым прибором до 50 при условии, что выборочная дисперсия его показаний при этом не изменится?
Табличное значение критерия Фишера при этом равно F_0,05;199;49 = 1,49, и значение статистики попадет в критическую область 1,91 > 1,49, следовательно, в качестве рабочей может быть принята альтернативная гипотеза Н₁ σ₁²>σ₂², т.е. результаты измерений новым прибором точнее, чем старым.
Лабораторно-практическая работа №6.
Проверка однородности нескольких дисперсий

Критерий Фишера используется для сравнения только двух дисперсий, однако на практике приходится сравнивать между собой три и более дисперсий.

При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза заключается в том, что все к совокупностей, из которих взяты выборки, имеют равние дисперсии.
1.
т.е. проверке подлежит предположение, что все эмпирические дисперсии относятся к выборкам из совокупности с одной и той же генеральной дисперсией σ².
Пусть среди нескольких серий измерений обнаружена такая, выборочная дисперсия которой 3²_тах заметно больше всех остальных. Задача заключается в том, чтобы выснить, можно ли считать отличие выделенной дисперсии 3²_тах сушественным. Другими словами, альтернативная гипотеза может быть выбрана как
2.

3. 
   При равном объеме всех к выборок может бить использован так называемый критерий Кохрена (в ряде книг пишется -Кочрена).
   
4. 
   Статистика критерия Кохрена G рассчитывается как отношение 3²_тах к сумме всех выборочних дисперсий:
   

(3.47)

5. 
   В дальнейшем для выбранного уровня значимости а определяется табличное значение этого критерия, которое зависит от числа степеней свободы т = п - 1 и числа сравниваемых дисперсий k -G_α,_m,k (см. [11] или табл. П.9).
   

5. 
   Критическая область строится как G≥ G_α,_m,k
   

1. При гипотеза принимается в
качестве рабочей, т.е. отличие выделенной дисперсии 3²_тах считается несущественным.
В случае подтверждения однородности дисперсий можно сделать оценку обобщенной дисперсии о²:
(3.48)
Пример 3.5. Шестью приборами произведено по семь измерений
(п = 7) одного и того же параметра, при этом получены следуюшие выборочные дисперсии . Можно ли считать, что разброс показаний первого прибора существенно превышает разбросы показаний остальных пяти прыборов?

1. 
   Нулевая гипотеза
   
2. 
   Альтернативная гипотеза
   
3. 
   Поскольку все шесть выборок имеют оди-наковый объем, то может быть использован критерий Кохрена.
   
4. 
   Значение статистики данного критерия в соответствии с уравнением (3.47) составит:
   

5. Табличное значение этого критерия для уровня значимости а = 0,05,
при числе степеней свободы для каждой из дисперсий т = 7-1 = 6 и числе
сравниваемых дисперсий к = 6, равно Оо,о5;б;б=0,418 (табл.П.9).
6. Так как Gα,_m,k, отклонение дисперсии S²_mах = 3,82 от остальных
нельзя (с вероятностью 0,95) признать сушественным, и, следовательно, все
дисперсии однородны (т.е. разбросы в показаниях всех шести приборов при-
мерно одинаковы).
Оценка обобшенной дисперсии:

Критерий Кохрена можно использовать только в тех случаях, когда все сравниваемью дисперсии имеют одинаковое число степеней свободы т = п -1 (одинаковью объемы выборок = п₂ = п₃= ... = п_к= п). Если же число измере-ний п в различных сериях неодинаково, то для проверки однородности дисперсий можно выбрать, например, критерий Бартлета. При необходимости с процедурой его использования можно познакомиться в литературе по теории вероятности и математической статистике (см. например, [9,10]).
Лабораторно-практическая работа№7
Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий

Часто для решения вопроса о соответствии произведенной продукции Лабораторно-практическая работа определеннум требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ) при выявлении преимушества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д. возникает необходимость по выборочним средним значениям исследуемых случайных величин делать вывод о соответствуюших им генеральных значениях математических ожиданий.

При этом может возникнуть задача сравнения неизвестного математического ожидания М₁, для которого получена оценка через выборочное среднее хь с конкретным числовым значением М (например, с известным математическим ожиданием) или задача сравнения двух математических ожиданий М₁ и Мг, оцененным по двум выборочным средним х₁ и х₂.
В первом случае в качестве нулевой гипотезн выдвигается предполо-жение о том, что оцененное математическое ожидание М1 равно известному математическому ожиданию М.
1.
2. Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах:

3. Если генеральная дисперсия о² неизвестна и для нее, по той же самой
выборке, что и для х₁ , сделана оценка S², то используется 1-критерий (рас-пределения Стьюдента).
4 t - статистика имеет вид
(3.49)

5. 
   Как и при построении доверительного интервала, для математического ожидания (см. раздел 3.2.1) выбирается уровень значимости α.
   
6. 
   Для числа степеней свободы т = п -1 (с которым сделана оценка дис-персии) устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей 1-распределения (см., например, [11] или табл. П.6), или их можно определить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР из электроннмх таблиц Microsoft Ехсеl
   

Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что М₁= М при выполнении неравенств:

• 
  для альтернативнмх гипотез
  
• 
  для альтернативной гипотезы
  

Появление в последних неравенствах величин а и 2а при определении табличных значений критерия Стьюдента связано с тем, что обычно эти таблицн (см. табл. П.6) приводятся для двустороннего распределения Стьюдента,
т.е. под t_ат понимается величина, которая при т->ю будет стремиться к
квантили нормированного нормального закона распределения порядка 1- α/2

Поэтому, работая с таблицами критерия Стьюдента, неплохо делать проверку, показывающую для какого распределения (одностороннего или двустороннего) они составлены так, по табл. П.6

следовательно, это двусторонние пределн распределения Стьюдента.
Аналогичная ситуация связана и с функцией СТЬЮДРАС-ПОБР(вероятность;степени свободы), где вероятность - это вероятность, соответствуюш,ая двустороннему распределению Стьюдента.
Пример 3.6 При проверке Рh-метра с помошью эталонного раствора, имеюшего Рh=9,0, полученм следуюшие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. п = 14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью?
Для решения этой задачи предварительно рассчитаем выборочное сред-
нее х и выборочное среднеквадратическое отклонение 3 в предположении, что показания Рh-метра не противоречат нормальному закону распределения и среди них нет грубых погрешностей (см. формулн (3.5), (3.8) и (3.10)):




В электронных таблицах Microsoft Ехсе1 для подобных расчетов можно было бы воспользоваться следуюшими тремя статистическими функциями:
СРЗНАЧ(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 9,2;
ДИСП(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 0,164615;
СТАНДОТКЛОН(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 0,4057.
Далее, в соответствии с описаннмм выше алгоритмом:

1. 
   Выдвигается нулевая гипотеза о том, что математическое ожидание показаний Рh-метра равно Рh эталонного раствора (не имеют систематической погрешности) Н₀: М₁= 9 .
   
2. 
   Альтернативная гипотеза выбирается в виде Н1; М₁ ≠ 9, поскольку показания Рh-метра не должны как завышать, так и занижать истинное значение Рh раствора.
   
3. 
   Так как значение генеральной дисперсии о² показаний Рh-метра неизвестно, а имеется только ее оценка S² = 0,1646, то используется 1-критерий (распределения Стьюдента).
   

4.1 - статистика имеет вид

5. Выбирается (обычный для большинства технических приложений)
уровень значимости α = 0,05.
6. При этом уровне значимости, числе степеней свободм т = п -1 = 13 и для альтернативной гипотезм Н₁: М₁≠9 устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей распределения Стьюдента 1о,05;13 = 2,16 или их можно определить, воспользовавшись функцией СТЬЮДРАС-ПОБР(0,05;13) = 2,160368 из электронных таблиц Microsoft Ехсеl
7. Поскольку рассчитанное значение статистики I = 1,84 не попадает в критическую область (1,84 < 2,16), то нулевая гипотеза принимается в качестве рабочей, т.е. можно считать, что М₁ = 9 (вероятность того, что показания Рh-метра имеют систематическую погрешность меньше чем 0,05).