Misol f(x)—3• funksiya grafigining fi' da qavariqligi yoki botiqligini aniqlang. Yechilishi

chizma).

7. 
   ta‘rif. Agar istalgan z„ ye[a,b] uchun f '
   

7.16- chizma.

tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f(x) funksiyaning grafigi [a;b) kesmada botiq (qavariqligi yuqoriga yo‘nalgan) deyiladi.

7. 
   ta'rif. Agar istalgan x„ yo [a;b] uchun
   

< f[x )+ f(x›)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f(x) funksiyaning grafigi [a,b] kesmada
qavariq (qavariqligi pastga yo‘nalgan) deyiladi.

1. 
   misol. f(x)—3• funksiya grafigining fi' da qavariqligi yoki botiqligini aniqlang.
   

Yechilishi. Funksiya grafigining botiqligi yoki qavariqligini ta‘rif bo‘yicha tekshiramiz:


^{= 3 = 3} 1 + 2


_{/(• )+} ^f[x_{z )} _ 3" +3*›


^bz ₁ ^{, z}₂ ^{e fi'} (^{y, < z} ₂ ^{) uchun 3"' va 3"' sonlar bir-biriga teng} emas va musbat sonlar. O‘rta arifmetik va o‘rta geometrik miqdorlar orasidagi munosabatlardan
+3*
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak, 4- ta‘rifga asosan, funksiyaning grafigi qat‘iy qavariqdir (7.17- chizma).

2. 
   misol.f(x)——sin x funksiya grafigining [0;n] kesmada botiqligini ko‘rsating.
   

Yechilishi. Shartga ko‘ra

^xi ^{+ x2}
2
va
= sin °' ^+xi
2
" -- sin ¹
2 2

larga ega bo‘lamiz. Istalgan x , x e (0;z), z,+x, larda 0 < ₂
bo‘lgani uchun
O
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Demak, 6- ta‘rifga asosan,f(x)=sin x funksiyaning grafigi [0;z] kesmada botiqdir (7.18- chizma).

3. 
   misol. Ushbu f(x)-—H funksiya grafigining fi' da qavariqligini ko‘nating.
   

7.17- chizma.


Yechilishi. Istalgan 4 x ,


4

va x x ‘lganda

^{) _ x2}i
4

tengsizlikka ega bo‘lamiz, chunki x + x2 z 2x,x_-2
Demak, 8- ta‘rifga ko‘ra, berilgan funksiyaning grafigi fi' da qavariqdir (7.19- chizma).

-2 -l

2
0 - I -2 x

-2
7.19- ck1zma.

g) qavariq funhsiyalarning

XOSSRlflPt.
1°. Qavariq (botiq) funksi- yaning o‘zgarmas musbat songa ko‘paytmasi yana qavariq (botiq) funksiya bo‘ladi.
2°. Qavariq (botiq) funksi- yaning o‘zgarmas manfiy songa ko payt masi botiq (qavariq) kinksiya bo‘ladi.
3°. Qavariq funksiyalarning

yig‘indisi qavariq funksiya bo‘ladi.
4°. Agar f(z) — qavariq va o‘suvchi bo‘1ib. x=‹p(i) esa botiq funksiya bo‘lsa, u holda murakkab f(q(t)) funksiya botiq bo‘ladi. 5°. Agar f(x) — botiq va o‘suvchi bo‘lib, x=‹p(i) esa qavariq funksiya bo‘lsa, u holda murakkab f(q(t)) funksiya botiq bo‘ladi. 6°. Agarf(x) — qavariq va o‘suvclu funksiya bo‘lib, x=p(i) esa qavariq funksiya bo‘lsa, u holda murakkabf(p(i)) funksiya qavariq
bo‘1adi.
7°. Agarf(x) — qavariq va kamayuvchi funksiya bo‘lib, x=‹p(f) esa botiq funksiya bo‘lsa, u holda murakkabf(‹p(i)) funksiya qavariq bo‘ladi.
8°. Agar y-f(x) va y=px) o‘zaro teskari (mos oraliqlarda) funksiyalar bo‘lsa, u holda:
o) agarf(x) — botiq va o‘suvchi funksiya bo‘lsa, g(x) funksiya qavariq va o‘suvchi bo‘ladi;
b) agar f(x) — qavariq va kamayuvchi funksiya bo‘lsa, gfx)
funksiya botiq va kamayuvchi bo‘ladi;
d) agar f(x) — qavariq va kamayuvchi funksiya bo‘lsa, g (x)
funksiya qavariq va kamayuvchi bo‘ladi.
9'. [o;b] oraliqda botiq bo‘lgan f(x) (o‘zgarmas sondan farqli) funksiya shu oraliqning ichida o‘zining eng katta qiymatini qabul qilmaydi.
10 . Agar f(x) va $fx) funksiyalar musbat va qavariq bo‘lsa, u
holda F = funksiya qavariq bo‘lishi uchun bu funksiyalarning biri o‘suvchi, ikkinchisi esa kamayuvchi bo‘lishi yetarli.

11⁰. Agar F = funksiya qavariq bo‘lib, f(x) manfiy, qavariq va o‘su chi bo‘lsa, u holda q(x) funksiya musbat, botiq ma o‘suvchi
bo‘ladi.
12⁰. Agar F = _q[x) botiq bo‘lib, f(x) va q(x)) funksiyalar