Nazariy savollar 1

TEYLOR QATORI

f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.

Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+…

qatorning koeffisiyentlari va x₀ nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x₀) =x₀

dan iborat bo`ladi.

f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:

f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+…

Bundan, x = x₀ bo`lgan holda

f`(x₀)=a₁

ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:

x = x₀ bo`lganda

.

Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:

qator koeffisiyentlarini topamiz:

, , ,…, ,…

a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.

Agar (8)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:

f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:



R_n (x) – qoldiq had.

Bunda, .

2. MAKLOREN QATORI

Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:

Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:

, , , , ,...

Bu qiymatlarni (1) qatorga qo`yamiz:

Hosil bo`lgan (2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.

Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.

5. Darajali qatorlar. qatorlar yordamida taqribiy hisoblashlar.

Agar darajali qator x=x00 nuqtada yaqinlashsa, u holda bu qator -|x₀|0| oraliqda absolyut yaqinlashadi; 2) Agar darajali qator x=x0| nuqtada uzoqlashsa, u holda bu qator -|x₀||>x va x>|x₀|| oraliqlarda uzoqlashadi; Isboti. 1) Teoremaning shartiga ko’ra а₀+а₁х₀+а₂х₀₂+…+а_nx_0n+…

6.

Furye qatori haqida tushuncha.

Har bir hadi

quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan

funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi.

a₀, a₁, b₁, a₂, b₂,… sonlar esa trigonometrik qatorning koeffisientlari deyiladi.

Bu qatorda asosiy masala ularning koeffisientlarini topishdan iborat trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi

trigonometrik ko’phad deb ataladi.

Faraz qilaylik, f(x) funksiya [- 𝞹,𝞹 ] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda

funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi sifatida [-p ,p ] da integrallanuvchi bo’ladi.Bu funksiyalarning integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik:

Bu sonlardan foydalanib, ushbu

trigonometrik qatorni tuzamiz.

Ta’rif: a₀, a₁, b₁, a₂, b₂,… koeffisientlari formulalar bilan aniqlangan trigonometrik qator f(x) funksiyaning Furye qatori deb ataladi.

7. Faraz qilaylik D soha ikki o’lchovli integralni integral yig’indining limiti sifatida hisoblash aniq integral bo’lgan holdagi kabi katta qiyinchiliklar bilan bog’liq. Аna shundan qutilish maqsadida, ikki o’lchovli integralni hisoblashni ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. Bu qanday bajarilishini ko’rsatamiz. Soddalik uchun integrallash sohasida integral ostidagi funktsiya (x,y)  0 bo’lgan hol bilan chekalanamiz. Bu farazimiz ikki o’lchovli integralni, silindrik jismning hajmi sifatida qarashimizga imkon beradi.

Shunday qilib, (x,y) uzluksiz funktsiyadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash talab qilinmoqda.

Аvval bunday faraz qilamiz:  integrallash sohasi ikkita y=₁(x) vа y=₂(x) egri chiziq hamda ikkita x=a vа x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan. Shu bilan birga х ning a vа b оrasida yotuvchi barcha qiymatlari uchun ₂(x) ₁(x) tengsizlik o’rinli bo’lsin.

Ох o’qdagi (х;0) nuqta orqali Оу o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq sohani chegaralab turgan egri chiziqlar bilan C₁ va C₂ nuqtalarda uchrashadi. C₁ nuqtani kirish nuqtasi. C₂ nuqtani esa chiqish nuqtasi deb ataymiz. Ularning ordinatalarini mos ravishda y_kir vа у_chiq bilan belgilaymiz. Кirish nuqtasining ordinatasi у_kir=₁(х) vа chiqish nuqtasining ordinatasi у_chiq=₂(х) bo’ladi. Ма’lumki, ikki karrali integral son jihatidan z= (x,y) sirtning  yuzachaga proyeksiyalangan silindrik sirtning V hajmiga teng. V=

Endi silindrik jismning V hajmini boshqacha yo’l bilan, chunonchi, ko’ndalang kesimlar usuli yordamida hisoblaymiz.

Biz bilamizki, аgar jismning Ох o’qqa perpendikulyar vа x(axb) аbsissali nuqta orqali o’tuvchi tekislik bilan kesimi s(x) yuzaga ega bo’lsa, u holda jismning V hajmi

formula bilan ifodalanadi. Bu formulani silindrik jismning hajmini hisoblashga tadbiq qilamiz. (x;0;0) nuqta orqali Ох o’qqa perpendikulyar tekislik o’tkazsak, kesimda C₁M₁M₂C₂ egri chiziqli trapetsiyani hosil qilamiz. M₁M₂ chiziqning z= (x,y) аpplikatasi х o’zgarmas bo’lganda faqat у ning funktsiyasi bo’ladi, shu bilan birga, у аrgument у_kir=₁(х) dan у_chiq=₂(х) gacha o’zgaradi. C₁M₁M₂C₂ trapetsiyaning S(x) yuzi, ravshanki, ushbu aniq integralga teng:

Shunday qilib, formula silindrik jism ko’ndalang kesimi yuzini aniqlaydi.

tenglikka S(x) ning ifodasini qo’yib,

ni hosil qilamiz.

Biroq, ikkinchi tomondan silindrik jismning V hajmi ikki karrali integralga teng bo’lganligi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

=

yoki

=

Bu izlanayotgan formuladir.

8.

9.

10. Birinchi va ikkinchi tur egrichiziqli integrallar hamda ularning tadbiqlari

Aytaylik sohada funksiya aniqlangan bo‘lsin. sohani egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta sohashalarga bo‘lamiz. sohada nuqta olib, ni hisoblaymiz hamda quyidagi

funksiyaning soha uchun integral yig‘indisinituzamiz. Bu yerda sohaning yuzasi.

Ta’rif. Agar (1) integral yig‘indining 0 ga intilgandagi limiti mavjud bo‘lib, u chekli songa teng bo‘lsa hamda uning qiymati sohaning bo‘linish usuliga va nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda o‘sha son funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integrali(Riman ma’nosidagi integrali) deyiladi va u

yoki

kabi belgilanadi. funksiya sohadaintegrallanuvchideyiladi. Aks holda funkтsiya sohada integrallanuvchi emas deyiladi.

Shunday qilib,

Izoh. Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz.

Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi Darbu yig‘indilari yordamida ham aniqlash mumkin.