Название обратной тригонометрической функции

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.} На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x} функцией не является (так как нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right).} На этом отрезке {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x} строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)} существует обратная {\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}, график которой симметричен графику {\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x} на отрезке {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)} относительно прямой {\displaystyle y=x.}

Функция arcctg[править | править код]

График функции {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x}
Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {\displaystyle \operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0Функция {\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x} определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

• 
  {\displaystyle \operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x} при {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y} при {\displaystyle 0
• 
  {\displaystyle D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),}
  
• 
  {\displaystyle E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).}
  

Свойства функции arcctg[править | править код]

• 
  {\displaystyle \operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.} График функции центрально-симметричен относительно точки {\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).} Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arcctg} x>0} при любых {\displaystyle x.}
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}
  
• 
  {\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.}