Непрерывность функции действительной переменной

Решение. Имеем . Так как , то функция непрерывна.
Определение 6. Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если правый (левый) предел этой функции в точке равен значению функции в этой точке. Символически это записывается так , .
Теорема 1. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. В этом случае .
Приведем также следующие важные свойства функций, непрерывных в точке.
Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 3. Если функция непрерывна в точке и ( ), то существует окрестность точки , в которой ( ).
Кратко эту теорему можно сформулировать так: функция, непрерывная в точке , в достаточно малой окрестности этой точки имеет тот же знак, что и .
Обратим внимание, что из непрерывности функции в точке не следует непрерывность этой функции в достаточно малой окрестности точки . Например, функция

непрерывна в точке и разрывна во всех точках отличных от нуля.
Определение 7. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке .
Так, в примере 1 функция непрерывна на множестве точек , в примере 2 функция непрерывна на множестве , в примере 3 функция непрерывна на множестве точек .


Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций в точке и ее окрестности следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма двух функций, непрерывных в точке и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке и ее окрестности.