Nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish usuli

§63 Kuchaytirish va shaffoflik
Hozirgacha biz beqarorlik muammolarini bir lahzada fazoda aniqlangan buzilish vaqti bilan rivojlanishini ko'rib chiqdik. Bunday tebranishning Fourier kengayishi k to'lqin vektorlarining haqiqiy qiymatlari bo'lgan komponentlarni o'z ichiga oladi va ularning vaqtga bog'liqligi ō ( k ) chastotalari, dispersiya munosabatlarining murakkab ildizlari bilan boshqariladi.
Biroq, beqarorlik muammosining yana bir mumkin bo'lgan formulasi mavjud bo'lib, unda biz ma'lum bir vaqt oralig'ida ma'lum bir fazoda o'zgaruvchanlikni ko'rib chiqamiz. Bunday tebranishning Furye kengayishi haqiqiy chastotalar ō bo'lgan komponentlarni o'z ichiga oladi va ularning kosmosda tarqalishi dispersiya munosabatini echish yo'li bilan topilgan k ( ō ) to'lqin raqamlari bilan boshqariladi, bu safar k uchun ; mos ravishda, chastotalar emas, balki to'lqin raqamlari murakkab. (§62da bo'lgani kabi, biz bir o'lchovli masalani ko'rib chiqamiz va shuning uchun k vektor o'rniga k ≡ k _{x yozamiz} .)
To'lqin raqamlarining murakkabligi turli xil ma'nolarga ega bo'lishi mumkin. Ba'zi hollarda bu shunchaki tegishli to'lqinlar muhitda tarqala olmasligini anglatishi mumkin (shaffoflik emas ): boshqa hollarda bu to'lqinlarning manbadan tarqalayotganda muhit tomonidan kuchayishini anglatishi mumkin. Darhol ta'kidlashimiz kerakki, im k belgisi, albatta, bu ikki imkoniyatni farqlash mezoni bo'la olmaydi: to'lqinlar ijobiy va salbiy x - yo'nalishlarida tarqalishi mumkin va tarqalish yo'nalishining o'zgarishi o'zgarishga teng. k belgisida .
Jismoniy jihatdan ravshanki, faqat beqaror muhit kuchayishi mumkin. Demak, masalan, dispersiya munosabati ō ² = Ō _e ² + c ² k ² bo'lgan plazmadagi ko'ndalang elektromagnit to'lqinlar uchun shaffof emasligi darhol aniq bo'ladi (§32, 1-masalaga qarang) ō < Ō _{e chastotalarida.} , buning uchun k ( ō ) xayoliy bo'ladi: bu tenglama orqali berilgan ō ( k ) funksiya barcha real k uchun haqiqiydir , shuning uchun tizim albatta barqaror bo'ladi.
t = ₀ dan boshlanadigan va keyinchalik tizimning javobi deb ataladigan monoxromatik tebranish ps hosil qiluvchi x koordinatasiga taalluqli nuqta manbasini ko'rib chiqaylik . signalga. Manba kuchi shundan keyin
(63.1) g(t,x)=0uchun t<0,=constant× D (x)e−i ō 0tfor t>0.}
Biz buzilishning fizik tabiatini aniqlamaymiz ps , shuning uchun ham manba kuchi g . Faqatgina muhim jihat shundaki, buzilishning ō k -komponentlari manbadan aniqlanadi.
(63.2) psō k=g ō k/ D ( ō ,k).
Bu ifoda sistemaning bir hil boʻlmagan chiziqli “harakat tenglamasi”dan olingan boʻlib, bunda g ( t, x ) “oʻng tomon” vazifasini bajaradi, xuddi (62.4) boshlangʻich bilan bir jinsli tenglamaning yechimi boʻlgani kabi. g (0, x ) funksiyasi bilan belgilangan shart . Manba (63.1)†
(63.3) g ō k=constant/i( ō - ō 0).
Keyin inversiya formulasidan ps ( t, x ) funksiya topiladi
(63.4) ps (t,x)=constant×∫−∞+i s ∞+i sΦ ( ō ,x)e−i ō ti( ō − ō 0)d ō 2 p ,
(63.5) PH ( ō ,x)=∫−∞∞eikx D ( ō ,k)dk.
masala shartlariga muvofiq t < 0 uchun ps ( t, x ) = 0 tenglamasini majburiy ravishda qanoatlantiradi : tebranish manba t = 0 da kelgandan keyingina sodir bo‘ladi.
Endi muammo ps ( t, x ) ning manbadan (| x | → ∞) uzoqda joylashgan asimptotik ifodasini barqaror sharoitda, ya’ni manba ishlay boshlagandan keyin ( t → ∞) uzoq vaqt o‘tgach topishdadir. Agar buzilish x → ± ∞ sifatida nolga moyil bo'lsa , biz shaffof emasmiz: agar u manbadan bir yoki boshqa yo'nalishda kuchaysa, kuchaytirish mavjud. Ikkala holatda ham biz faqat konvektiv jihatdan beqaror (yoki barqaror) tizim haqida gapirishimiz mumkin. Mutlaq beqarorlik bilan, kosmosning har bir nuqtasida vaqt o'tishi bilan buzilish cheksiz kuchayadi, shuning uchun hech qanday barqaror sharoitga erishib bo'lmaydi.
Kerakli asimptotik shaklni topish uchun birinchi navbatda asimptotik chegara t → ∞ dan oldin | x | → ∞: tebranish chekli vaqt ichida cheksizlikka tarqala olmasligi sababli, ps → 0 sifatida | x | → ∞ chekli t uchun .