Nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish usuli

f _X ning barcha uzluksizlik nuqtalarida amal qiladi . Umuman olganda, agar f _{X ning} f¯X chegarasi x = y da o'rtacha ma'noda mavjud bo'lsa, biz inversiya formulasini olish uchun (11.8) tenglamadagi chegarani olamiz.
(11.10) fX(y+0)=fX(y−0) ⇒ 12 p lim s →0∫−∞∞ ϕ X(t)e−itye− s 2t2/2dt=f¯X(y)
Agar, masalan, f _X y da oddiy sakrashga ega bo'lsa, (11.10) ning o'ng tomonini y da chap va o'ng chegaralarning o'rtacha qiymati sifatida talqin qilish kerak .
Misol Ikki tomonlama eksponensial zichlik holatida f(x)=12e−|x| , xarakteristik funktsiya to'g'ridan-to'g'ri s ( t ) = 1/(1 + t ² ) sifatida hisoblanadi. Bu haqiqiy chiziqdagi integral funksiyadir, shuning uchun inversiya formulasi (11.9) hosil bo'lishi uchun qo'llaniladi.
12e−|y|=12 p ∫−∞∞11+t2e−itydt, t ∈ R
f _X ( x ) = 1/ p (1 + x ² ), ya'ni ϕ _X ( t ) = e ^−| ning xarakteristik funktsiyasini olish uchun y va t rollarini o'zgartirishimiz mumkin. ^t| . Bu integral bo'lganligi sababli, bizda (11.9) hech qanday cheklovsiz inversiya formulasi mavjud.
Misol Bir xil zichlik f _X ( x ) = (1/( b − a ))1 _{[ a , b ]} ( x ) bo‘lsa, xarakteristik funksiya ϕ _X ( it ( b − a )) bo‘ladi. haqiqiy chiziq ustida integrallash mumkin emas. Demak, biz inversiya formulasining umumiy shaklini (11.10) ishlatishimiz kerak.
Misol Uchburchak zichlik holatida, masalan, f ( x ) = 1 – | x | uchun | x | ≤ 1 va boshqa joylarda nol bo‘lsa, f - [ −12,12 ] da ikkita bir xil zichlikning konvolyutsiyasi ekanligini ta’kidlab, (11.9) inversiya formulasini asoslashimiz mumkin, buning uchun s ( t ) = O (1 / t ), t → s . Demak, 11.1 teoremaga ko’ra f ning xarakteristik funksiyasi O(1/ t ² ), t → s dir . Demak, Furye inversiya formulasini olish uchun (11.9) ni qo'llashimiz mumkin.
11.2.1 Furye o'zaro munosabati/mahalliy noyoblik ^*
Furye integrali juftligi sifatida qayta yozish mumkin: s ( t ) = 1 − | t | uchun | t | < 1 va boshqa joylarda nol.
f(x):=∫−∞∞ s ( t)eitxdt=∫−11(1−|t|)eitxdt=21−cosxx2 x≠0,f(0)=1.
Inversiya formulasini integrallanuvchi xarakterli funksiyalar uchun qo‘llagan holda, biz bor
(t)=12 p ∫− ∞∞eitx21 −cosxx2 dx, t ∈ R
( t ) ning xarakterli funktsiya ekanligini ko'rsatadi . Endi biz belgilash orqali davriylashtiramiz
t ):=∑K ∈ Z s (t−2k p )
chiziqda 2 p davriy funksiya bo'lib, | uchun s ( t ) ga mos keladi. t | < 1. Uning Furye koeffitsientlari xisoblanadi
12 p ∫− pp (t)e−intdt=12 p ∫− p ∑k ∈ Z ϕ ( t−2k p )e−intdt=12 p ∑k ∈ Z∫− (2K−2K) +1 ) p (y)e−in(y+2k p )dy=12 p ∫−∞∞ ϕ (y)e−inydy=1 p 1−coskk2
mutlaq konvergent Furye qatoriga olib keladi:
t )=1 p ∑k ∈ Z1−coskk2eikt, t ∈ R.
Bu taqsimot orqali butun sonli tasodifiy o'zgaruvchini aniqlash imkonini beradi
pK=1−cosk p k2, 0≠k ∈ Z, p0=12 p
Bu aniq manfiy bo'lmagan va yig'indisi s (0) = 1. Bu taqsimot butun sonlarda to'planganligi sababli, uning xarakteristik funktsiyasi davriy funktsiya bo'lishi kerak, ya'ni s ( t ). Aniq s ( t ) = s ( t ) uchun | t | < 1, lekin tenglik [–1,1] oraliqdan tashqarida bajarilmaydi. Qisqa bayoni; yakunida,
INTERVAL BO'YICHA MAVJUD BO'LADI [-1, 1].
11.2.2 Furye inversiyasi va Parseval identifikatori
Inversiya formulasini (11.9) isbotlash uchun foydalanilgan g'oyalar ps mutlaq integrallanuvchi funktsiyaning Furye konvertatsiyasini davolash uchun kengaytirilishi mumkin , bu erda biz aniqlaymiz.
(11.11) ps ˆ(t)=∫−∞∞ ps (x)eitxdx
Agar ps tasodifiy miqdor X ning ehtimollik zichligi bo'lsa , u holda ps ˆ= ϕ X , X ning xarakteristik funktsiyasi . Umumiy holda, yuqoridagi kabi ps ˆ ga bir xil o'zgarishlarni qo'llashimiz mumkin, ya'ni (11.11) ni e−itye− s 2t2/2 ga ko'paytirish va integrallash orqali hosil bo'ladi.
∫−∞∞ ps ˆ(t)e−itye− s 2t2/2dt=∫−∞∞(∫−∞∞eit(x−y)e− s 2t2/2dt) ps (x)dx=2 p ∫− ∞∞e−(x−y)2/2 s 22 ps 2 ps (x)dx
Agar ps ˆ ham absolyut integrallansa, u holda s → 0 chegarasini olib, Furye inversiya formulasini olishimiz mumkin.
(11.12) ps (y)=12 p ∫−∞∞ ps ˆ(t)eitydt.
Tasodifiy o'zgaruvchiga y = X ( ō ) qo'llanilib, kutilgan natijani olamiz.
Taklif 11.1 (Parsevalning shaxsi). Faraz qilaylik, ps ˆ mutlaq integrallash mumkin. Keyin bizda inversiya formulasi (11.12) va har qanday X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun Parseval identifikatoriga egamiz:
(11.13) E ps (X)=12 p ∫−∞∞ ps ˆ(t) ϕ X(−t)dt
Bu quyida davomiylik teoremasini isbotlashda qo'llaniladi.
Kitobni sotib olish bo'limini ko'ring
Furye seriyalari va transformatsiyalari
RF Hoskins tadqiqot professori, Delta Functions (Ikkinchi nashr) , 2011 yil
6.4.2 Delta funksiyalarning Furye transformatsiyalari.
Delta funksiyasining tanlab olish xususiyatini Furye integralining o'ziga qo'llash orqali biz hosil bo'lamiz.
(6.27) ∫−∞+∞e−i ō t d tdt=1
yoki umuman olganda,
(6.28) ∫−∞+∞e−i ō t d t−adt=e−i ō a.
Bu shuni ko'rsatadiki, d ( t – a ) ning Furye konvertatsiyasini exp(– i ō a ) bo'lishini aniqlaymiz. Keyin inversiya formulasi rasmiy ravishda qondiriladi, chunki ( _6.19 ) dan foydalanib, biz shunday bo'lar edik.
12 p ∫−∞+∞ei ō te−i ō ad ō =12 p ∫−∞+∞ei ō t−ad ō = d t−a.
Ikki tomonlama biz Furye inversiya integraliga delta funksiyasining namuna olish xususiyatini qo'llashimiz mumkin:
12 p ∫−∞+∞ei ō t dō − a d ō =12 p ei a t
va shunga o'xshash
12 p ∫−∞+∞ei ō t dō + a d ō =12 p e−i a t.
Shunday qilib, Furye konvertatsiyasi kompleks qiymatli funktsiyalar uchun umumiy aniqlanganligini eslatib, bu natijalar e ^{i a t} va e ^{- i a t kabi murakkab ko'rsatkichlarning Furye o'zgarishlariga quyidagi ta'riflarni berishimiz mumkinligini ko'rsatadi} :
(6.29) ℱei a t=2 pdō − a ;ℱe−i a t=2 pdō + a .