Normal sistema uchun koshi masalasi mavjudlik va yagonalik teoremasi

6-Ma’ruza: NORMAL SISTEMA UCHUN KOSHI MASALASI
MAVJUDLIK VA YAGONALIK TEOREMASI

Ryeja:

1. 
   Normal sistema uchun Koshi masalasi.
   
2. 
   Chiziqli bog‘liqlik.
   
3. 
   Vronskiy determinanti va xossalari.
   

Tayanch iboralar: Normal sistema. Koshi masalasi. Funksiyalarning chiziqli bog‘liqligi. Sistema uchun Vronskiy determinanti . Fundamental yechimlar sistemasi.
Ushbu ko‘rinishdagi

(1)
differensial tenglamalar sistemani normal sistema deyiladi, bu yerda y_i lar x ning nomaolum funksiyalari, f_i lar biror Q_n+1 chegaralangan sohada aniqlangan, uzluksiz funksiyalar.
Ta’rif: Agar biror I intervalda aniqlangan
( ) funksiyalar sistemasi uchun

1. (x, )Q_n+1

2.  _i(x)C¹(I)

3.  _i(x)f_i(x,  ₁(x),  ₂(x), …,  _n(x)) xI

shartlar bajarilsa, bu funksiyalar (1) sistemani I da aniqlangan yechimi deyiladi.
Koshi masalasi (1) sistema uchun fazoda
( ) nuqta berilgan bo‘lib, (1) sistemani va
(2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi (1) sistema uchun Koshi masalasi deyiladi.
TEOREMA: Agar (1) sistema uchun ( ) boshlang‘ich qiymatlar berilgan bo‘lib
1. (f₁, f₂,…, f_n) funksiyalar quyidagi
P=
yopik sohada uzluksiz (Demak chegaralangan | f_i |M).
2. P sohada f_i funksiya argumentlar bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda (1) sistema ( ) intervalda (2) shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega.

Bu holda Lipshis sharti

ko‘rinishda bo‘ladi.
Ushbu teorema ham birinchi tartibli tenglama uchun Pikar teoremasini isbotiga o‘xshash isbotlanadi.
MISOL: Koshi masalasini yeching.

Vronskiy determinanti .

Agar I intervalda aniqlangan ( ) vektor funksiyalar uchun bir vaktda nolga teng bo‘lmagan o‘zgarmas sonlar mavjud bo‘lsaki, shu sonlar uchun

(2)
ayniyat o‘rinli bo‘lsa, u holda berilgan funksiyalar I da chiziqli bog‘liq deyiladi. Aks holda chiziqli erkli deyiladi.
bu yerda

(2) ayniyatni ochib yozamiz

Bu sistema _i larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qiladi. Uning determinantini yozib olamiz

Bu determinantga sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi .
Bizga
(3)
(4)
chiziqli sistema berilgan bo‘lsin.
Tyeorema: Agar (4) sistemada A(x) I da uzluksiz bo‘lib shu sistema yechimlaridan tuzilgan Vronskiy determinanti I intervalda kamida bitta (x=x₀) nuqtada nolga teng bo‘lsa, u holda funksiyalar I da chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
Tyeorema: . Agar yechimlar uchun W(x₀)0 bo‘lsa
(x₀I) W(x₀)0, xI o‘rinli .
MISOL:

(4)ning chiziqli erkli yechimlari sistemasi, fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Endi sistemani mexanik maonosiga qisqacha to‘xtalib o‘tamiz.

1. 
   ko‘rinishdagi normal sistemani
   

(5)
yechimga n o‘lchovli fazoda x nuqtaning xarakati mos keladi.
Bu fazoga holatlar fazosi (n=2 da holatlar tekisligi), xarakat natijasida hosil bo‘lgan egri chiziq xarakat teritoriyasi deyiladi. (5) tenglamalar xarakat territoriyasining parametrik tenglamalaridir.
Bu tenglamalar nafaqat nuqtaning geometrik o‘rnini aniqlaydi, balki shu nuqtani ixtiyoriy vaktda trayektoriyadagi holatini aniqlab, trayektoriya bo‘yicha vakt o‘zgarishi bilan nuqtaning xarakatini ko‘rsatadi.
(6) sistema (y₁,y₂,...,y_n) fazoning f₁, f₂, ..., f_n funksiyalar aniqlangan qismida tezliklar maydonini aniqlaydi.
Umuman (6) sistemani integrallashdan maqsad barcha xarakat trayektoriyalarini topish va ularning xossalarini o‘rganishdan iborat.

Tekshirish uchun savollar.

1. 
   Normal sistemani umumiy ko‘rinishini yozing.
   
2. 
   Normal sistemaning yechimi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Normal sistemani uchun Koshi masalasini qo‘ying.
   
4. 
   Yechimni mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani ayting.
   
5. 
   Bu xolda Lipshis sharti qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
   
6. 
   Funksiyalarning chiziqli bog‘liqliliga taorif bering.
   
7. 
   Chiziqldi bog‘lik funksiyalarga misol keltiring.
   
8. 
   Vronskiy determinantini yozing.
   
9. 
   Vronskiy determinantini 1 xossasi.
   
10. 
    Vronskiy determinantini 2 xossasi.