Общее определение оператора

Мавзунинг долзарблиги
Замонавий операторли ёки кўпинча операцион ҳисоб деб аталадиган йўналишнинг кўп йиллик замонавий асослаш жараёнида Хевисайднинг бошланғич операторли нуқтаи назари ва у билан боғлиқ бўлган тушунчалар иккинчи даражали тушунчалар доирасига сиқиб чиқарилган. Бу нуқтаи назардан вос кечиб фақат дифференциал ёки функционал тенгламаниг иккала қисмига бошланғич шартларни ҳисобга олган ҳолда Лаплас алмаштиришидан фойдаланиш тенденцияси аниқланди.
Микусинский усули юқори даражада дастлабки оператор нуқтаи назарига радикал қайтишдан иборат. У операцион ҳисобга бевосита, изчил ва қатъийлик нуқтаи назардан тамомила қаноатлантирувчи далилларни беради ва унинг қўлланиш доираси Лаплас алмаштиришидан фойдаланиётган усулидан кенг. Янги усул назариянинг қурилишининг бош қисмида умумлашган функиялар тушунчасини киритиш билан ажраб туради.
Функциялар халқасиниг кенгайишидан хосил бўлган Микусинский операторлар майдонини умумлашган функциялар деб қараш мумкин. Бу йўл билан майдон элементлари бир пайтда оператор ёки функциялар деб ҳисоблаш мумкин. t ўзгарувчили реал функциялар s дифференциаллаш оператори ёрдамида ифодаланиши мумкин. Бу эса дифференциал тенгламадан бошланғич шартларни ҳисобга олган ҳолда мос оператор тенгламага келтирилади. Охирги эса бошланғич шартлар билан берилган дифферениал тенгламанинг умумлашмаси бўлиб, етарли марта дифференциалланувчи оператор тенгламанинг реал ечимлари билан устма-уст тушади. Яъни, диференциалланувчи бўлмаган реал ечимлари-дифференциал тенгламанинг умумий ечимлари оддий физик маънога эга.
Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламанинг ечиш масаласини таъкидлаб ўтамиз. Бу ерда кўрилаетган тенгламалар синфи учун ягона ечимга эга бўлиш учун бошланғич ва чегаравий масаллларни қандай кўринишда бериш кераклиги аниқланади. Ечимнинг ягоналиги операторли дифференциал тенгламалар учун ягоналик теоремаси билан таъминланади. Бу муҳим саволлар Лаплас алмаштиришидан фойдаланаётган оператор ҳисобнинг замонавий талқинида хисобга олинмайди.
Амалиётда оператор тенгламанинг ечими реал функция бўлиши ёки бўлмаслигини аниқлаш керак, агар шундай бўлса ечимни оддий ўзгарувчилар фукциялар шаклида ифодалаш керак. Чизиқли ва чизиқсиз операторли тенгламалар замонавий математик моделларда кенг қўлланилади.