Общее определение оператора

4-машқ. Тенгликларни текширинг:

Коммутативлик, ассоциативлик и дистрибутивлик хоссаларидан фойдаланиб, соддалаштиринг:

Ўраманинг таърифига асосан,

{1} функцияни ихтиёрий f(t) функция билан ўрамаси бу функцияни 0 дан t интеграллашга тенг кучли.
Шунинг учун {1} функцияни интеграллаш оператори деймиз ва уни қисқача учун харфи билан белгилаймиз:

Интеграллаш операторини даражаларини осонликча хисоблаш мумкин:

Қуйидаги белгилашдан фойдаланиб
,
Умумий формулани ёзиш мумкин

Бу формула ихтиёрий натурал ўринли, агар 0!=1 деб қабул қилсак, у холда ўринли бўлади.
Қуйидаги ифодани ўрамани ассоциативлиги учун икки хил интерпретация қилиш мумкин: 1) функцияни 0 дан t гача оралиқда кетма-кет n-марта интеграллаш ёрдамида хосил бўлган функция ёки 2) ва функцияларни ўрамаси. Бундан Коши формуласидан қуйидаги маълум бўлган муносабат келиб чиқади

5-машқ. Ифодани хисобланг:
(1) (2) (3)
2. Муносабатни исботланг

Биз ўрамани йиғиндига нисбатан коммутативлиги, ассоциативлиги ва дистрибутивлигини исботладик. Ўрамани янада чуқурроқ хоссаси қуйидаги теоремадан келиб чиқади :
Теорема: Агар С синфга тегишли f ва g функциялардан бирортаси айнан нолга тенг бўлмаса, у холда уларнинг ўрамаси хам айнан нолга тенг эмас.
Бу теорема Титчмарш томонидан [2-3] 1947й. баён қилинган ва исботланган. Исботи айрим аналитик функцияларни нолларини тақсимланишини татқиқ қилишга асосланган. Бу теоремани аналитик ва гармоник функцияларни ўсиш тезлигини ўрганишга асосланган соддароқ исботлари Крам [4] 1941й. И Дюфренуа [5] 1947 ва 1948 й. томонларидан келтирилган. Ва нихоят 1952й., Рыль-Нардзевский фақат хақиқий ўзгарувчили функциялар назарияси методларидан фойдаланиб исботлади.
Энди ўрамага тескари бўлган амални қараймиз. Худди алгебрага ўхшаб операторли хисобда хам каср тушунчасини киритиш мумкин

Қулайлик учун бу символни қуйидагича ёзамиз a/b. Белгилаб қўйиш лозимки агар a ва b –функциялар бўлса, унда ab уларнинг ўрамаси тушунилади, лекин a/b оддий бўлинма деб тушунилмайди, ўрамага тескари амал тушунилади: a/b символ (бу ерда b айнан нолга тенг эмас) шундай с функцияга айтиладики (агар у мавжуд бўлса),
a=bc (1.1.2)
Агар, масалан, унда
Яъни
a/b символ бир қийматли аниқланган бўлиши учун, битта c дан бошқа функция мавжуд бўлмаслиги зарур, у берилган a ва b (бу ерда b айнан нолга тенг эмас) (1.1.2) тенгликни қаноатлантириши керак. Бу бир кийматлиликни Титчмарша теоремаси таъминлайди: