Общие сведения предварительные замечания

Метод обобщенных определителей Хилла. Метод малого параметра приводит
к простым формулам первого приближения типа (49)—(53) для границ главных областей неустойчивости. Уточнение этих формул, а также расчет побочных резонансов требует построения высших приближений. Эти приближения громоздки и плохо алгоритмизируются для численной реализации. К тому же метод становится ненадежным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации не малы. Наконец, применение метода встречает затруднения при переходе к существенно неканоническим системам. В основе метода обобщенных определителей Хилла [9] лежит представление одного из решений общего уравнения (3) в форме (14). Пусть матрица-функция G (t) в уравнении (3) разложена в ряд Фурье по времени:

с постоянными коэффициентами — матрицами . Разлагая периодическую
вектор-функцию в решении (14) в аналогичный ряд, ищем это решение в виде

Здесь неизвестный характеристический показатель; . — неизвестные числовые векторы. Подстановка рядов (54) и (55) в уравнение (3) после приравнивания коэффициентов при одинаковых функциях времени приводит к бесконечной системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно компонентов векторов — коэффициентов ряда (55). Условие существования ненулевого решения этой системы состоит в равенстве нулю ее определителя. Таким образом, характеристические показатели являются корнями алгебраического уравнения

где матрицы бесконечного порядка, причем матрица имеет следующую блочную структуру:

При достаточно широких предположениях о свойствах матриц бесконечный определитель оказывается сходящимся и, следовательно, допускает редукцию к определителям конечного порядка.

Приближенные уравнения для основных параметрических резонансов. На границах
областей неустойчивости, отвечающих простым резонансам (18), уравнение (3) имеет хотя бы одно либо , либо периодическое решение. Отсюда можно вывести, что коэффициенты уравнения на границах этих областей удовлетворяют следующим соотношениям:
при периодическом решении или

при периодическом решении

Пусть параметрические колебания описываются уравнением (46). Границы главных областей неустойчивости вблизи простых резонансов могут быть найдены из приближенного уравнения

Левая часть обобщает центральный определитель в уравнении (37). Если то вместо (60) получаем уравнение, обобщающее формулу (35):

Тогда приближенные значения характеристических показателей могут быть найдены как корни алгебраического уравнения достаточно высокой степени, а исследование устойчивости решения уравнения (3) сводится к чисто алгебраической задаче. Все вычисления в методе Хилла производят над матрицами блочной структуры, что упрощает алгоритмы и программы для вычислений на . Точность вычислений может быть оценена сопоставлением результатов, относящихся к двум или нескольким приближениям последовательно возрастающего порядка. В этом методе не используется ни малость глубины модуляции, ни малость демпфирования, ни близость системы к канонической. Необходимое для удержания число членов в рядах (54) и (55) зависит от области частот, в которой ищется решение. Для расчета области неустойчивости вблизи побочного резонанса порядка р нужно сохранить в разложениях (54) и (55) по крайней мере гармоники до порядка включительно.