Общие сведения предварительные замечания

Аналитическая форма решений. Пусть все мультипликаторы
простые корни уравнения (10). Тогда независимые решения уравнения (3) имеют вид

Где периодические непрерывные функции;

Характеристические показатели.
Если среди мультипликаторов имеются кратные, то структура решений зависит от свойств элементарных делителей матрицы При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному корню, по-прежнему имеют вид (14), причем каждому мультипликатору кратности отвечает решений типа (14) с независимыми периодическими функциями . Если же кратному корню соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью , то решение имеет вид

Где матрицы-столбцы, компоненты которых — полиномы от степени
С - периодическими коэффициентами.
Условия устойчивости систем с периодическими параметрами. Решение
уравнения (1) устойчиво по Ляпунову, если все мультипликаторы

лежат в единичном круге причем мультипликаторы, лежащие на граничной
окружности - либо простые корни уравнения (9), либо имеют простые элементарные делители.
Решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга Решение уравнения (1) неустойчиво, если среди мультипликаторов имеется хотя бы один, по модулю больший единицы, или найдутся кратные с непростыми элементарными делителями. Случаи расположения мультипликаторов на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Этим случаям соответствует рис. 1 гл. V для систем с постоянными параметрами, если характеристические показатели определять согласно (15).
Классификация параметрических резонансов. Рассмотрим механическую систему, движение которой описывается уравнением (1). При отсутствии параметрического возбуждения уравнение системы имеет вид

Где симметричные положительно определенные матрицы. Пусть коэффициенты параметрически возбуждаемой системы заданы с точностью до двух параметров: частоты возбуждения и коэффициента возбуждения который характеризует интенсивность параметрического возбуждения (глубину модуляции параметров).
Например, пусть уравнение (1) получается из (17) заменой где периодические с периодом
матрицы достаточно произвольной структуры. Диссипацию будем считать достаточно малой, например, удовлетворяющей условию (19) гл V. Для этого класса параметрических систем область динамической неустойчивости на плоскости имеет ряд клиньев, заостряющихся в сторону малых . Клинья примыкают к оси частот вблизи значений находящихся в некоторых соотношениях с собственными частотами соответствующей консервативной системы, т. е. с положительными корнями.
уравнения
Именно эти частотные соотношения соответствуют параметрическим резонансам [9].
Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот

называют простыми. В механических системах, для которых уравнение (1) распадается на независимые уравнения, описывающие изменение каждой обобщенной координаты в отдельности, возможны только простые резонансы.

Параметрические резонансы, возникающие вблизи частот

называют комбинационными. Эти резонансы, обусловленные попарным взаимодействием форм колебаний, возможны только в системах, совершающих связанные колебания. В зависимости от знака в правой части формулы (19) различают комбинационные резонансы суммарного типа (суммарные резонансы) и комбинационные резонансы разностного типа (разностные резонансы). В канонических системах и (в силу непрерывности) в системах, достаточно близких к каноническим, возможны только резонансы суммарного типа.
В зависимости от значения целых чисел р в соотношениях (18) и (19) различают главные (при и побочные резонансы (при Число р называют порядком резонанса. Согласно этой терминологии резонанс при будем называть комбинационным резонансом разностного типа третьего порядка.