Одно из важнейших понятий математического анализа

Двойные и кратные интегралы[править | править код]
Основная статья: Двойной интеграл

Двойной интеграл как объём цилиндрического бруса
Понятие двойного интеграла возникает при вычислении объёма цилиндрического бруса, подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим некоторую двумерную фигуру {\displaystyle D}  на плоскости {\displaystyle XY}  и заданную на ней функцию двух переменных {\displaystyle f(x,y)} . Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахождении объёма получившегося тела (см. рисунок). По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру {\displaystyle D}  на достаточно малые области {\displaystyle d_{i}} , возьмём в каждой по точке {\displaystyle \xi _{i}=(x_{i},y_{i})}  и составим интегральную сумму
{\displaystyle \sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})}
где {\displaystyle S(d_{i})}  — площадь области {\displaystyle d_{i}} . Если существует, независимо от выбора разбиения и точек {\displaystyle \xi _{i}} , предел этой суммы при стремлении диаметров областей к нулю, то такой предел называется двойным интегралом (в смысле Римана) от функции {\displaystyle f(x,y)}  по области {\displaystyle D}  и обозначается
{\displaystyle \int \limits _{D}f(x,y)dS} , {\displaystyle \int \limits _{D}f(x,y)dxdy} , или {\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)dxdy}
Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.
Криволинейный интеграл[править | править код]
Основная статья: Криволинейный интеграл
Поверхностный интеграл[править | править код]
Основная статья: Поверхностный интеграл
Применение[править | править код]
К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела. Так, масса тонкого стержня с переменной плотностью {\displaystyle \rho (x)}  даётся интегралом
{\displaystyle M=\int \rho (x)dx}
в аналогичном случае плоской фигуры
{\displaystyle M=\iint \rho (x,y)dxdy}
и для трёхмерного тела
{\displaystyle M=\iiint \rho (x,y,z)dxdydz}
Обобщения[править | править код]Интеграл Лебега[править | править код]Основная статья: Интеграл ЛебегаВ основе определения интеграла Лебега лежит понятие {\displaystyle \sigma } -аддитивной меры. Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.
Интеграл Лебега функции {\displaystyle f}  определённой на пространстве {\displaystyle X}  по мере {\displaystyle \mu }  обозначают
{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu } , {\displaystyle \int \limits _{x\in X}f(x)\mu }  или {\displaystyle \int \limits _{X}f(x)\mu (dx)} последнее два обозначения употребляют если необходимо подчеркнуть что интегрирование ведётся по переменной {\displaystyle x} . Однако часто пользуются следующим не вполне правильным обозначением
{\displaystyle \int \limits _{X}fd\mu .}
Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо счётного объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс измеримых множеств, получим т. наз. Лебегову меру на прямой (в {\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}} , в {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3})} .
Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве. В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев. Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соответствующих им значений функции.
Пусть есть некоторое множество {\displaystyle X} , на котором задана {\displaystyle \sigma } -аддитивная мера {\displaystyle \mu } , и функция {\displaystyle f:X\to {\mathbb {R} }} . При построении интеграла Лебега рассматриваются только измеримые функции, то есть такие, для которых множества
{\displaystyle E_{a}=\{x\in X:f(x)измеримы для любого {\displaystyle a\in {\mathbb {R} }}  (это эквивалентно измеримости прообраза любого борелевского множества).
Сначала интеграл определяется для ступенчатых функций, то есть таких, которые принимают конечное или счётное число значений {\displaystyle a_{i}} :
{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))}
где {\displaystyle f^{-1}(a_{i})}  — полный прообраз точки {\displaystyle a_{i}} ; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд абсолютно сходится, ступенчатую функцию {\displaystyle f}  назовём интегрируемой в смысле Лебега. Далее, назовём произвольную функцию {\displaystyle f}  интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций {\displaystyle f_{n}} , равномерно сходящаяся к {\displaystyle f} . При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть интегралом Лебега от функции {\displaystyle f}  по мере {\displaystyle \mu } :
{\displaystyle \int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu }
Если рассматривать функции на {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}  и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега. Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как равна нулю почти всюду). Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.
Историческая справка[править | править код]
Основные понятия интегрального исчисления введены в работах Ньютона и Лейбница в конце XVII века (первые публикации состоялись в 1675 году). Лейбницу принадлежит обозначение интеграла {\displaystyle \int ydx} , напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ {\displaystyle \int } , от буквы ſ («длинная s») — первой буквы в латинском слове summa (тогда ſumma, сумма)^[3]. Сам термин «интеграл» предложен Иоганном Бернулли, учеником Лейбница. Обозначение пределов интегрирования в виде {\displaystyle \int _{a}^{b}}  введено Фурье в 1820 году.
Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано Коши в 1823 году, а для произвольных функций — Риманом в 1853 году. Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано Лебегом в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).
См. также[править | править код]

• 
  Численное интегрирование
  
• 
  Методы интегрирования
  
• 
  Список интегралов элементарных функций
  

Примечания[править | править код]

1. 
   ↑ Интеграл // Казахстан. Национальная энциклопедия. — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2005. — Т. II. — ISBN 9965-9746-3-2.
   
2. 
   ↑ Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
   
3. 
   ↑ Florian Cajori. A history of mathematical notations. — Courier Dover Publications, 1993. — P. 203. — 818 p. — (Dover books on mathematics). — ISBN 9780486677668.
   

Литература[править | править код]

• 
  Виноградов И. М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
  
• 
  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
  
• 
  Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
  

Fddf