Основные понятия и теоремы. Линейные операторы



Download 178,44 Kb.
bet3/6
Sana25.02.2022
Hajmi178,44 Kb.
#297812
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
35. Уравнения кривых и поверхностей в пространстве

2. Основные методы решения


.1 Упрощение уравнений второго порядка на плоскости

Преобразование квадратичной формы применяется, в частности, к упрощению уравнений линий и поверхностей второго порядка. Рассмотрим уравнения поверхностей.


Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат . Если х и у - координаты произвольной точки на плоскости в данной системе координат, то, как известно,

(I) уравнение определяет эллипс;


(II)уравнение - точку;
(III)уравнение - пустое множество точек
(мнимый эллипс);
(IV)уравнение - гиперболу;
(V)уравнение - пару пересекающихся прямых;
(VI)уравнение ( ), - параболу;
(VII) уравнение ( ) - пару параллельных прямых;
(VIII) уравнение ( ) - пару слившихся прямых;
(IX) уравнение ( ), - пустое множество точек.

Уравнения (Г) - (IX) называются каноническими уравнениями фигур второго порядка на плоскости.


Уравнения (I) - (III) определяют фигуру эллиптического типа. уравнения (IV), (V) - гиперболического типа, уравнения (VI) - (IX) -параболического типа.
Рассмотрим уравнения второго порядка


, (11)
.

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (11), образует некоторую фигуру. Покажем, что это уравнение определяет одну из фигур (I) - (IX). Для этого найдем уравнение фигуры (11) в системе координат( ), где векторы и получены из векторов и ортогональным преобразованием с матрицей перехода Т






При этом формулы преобразования координат точек будут иметь вид





Подставив эти значения х и у в уравнение (11), получим уравнение данной фигуры в системе координат ( ).


Сумма первых трех членов
(12)

является квадратичной формой двух переменных , которую мы будем называть квадратичной формой, соответствующей уравнению (11).


Матрица этой формы имеет вид



Пусть выбранное преобразование приводит квадратичную форму (12) к каноническому виду (как известно, такое преобразование всегда существует)




,

где - корни характеристического уравнения матрицы А. Тогда уравнение (11) примет вид




(13)
где ,

. Возможны следующие случаи. . Так как определитель матрицы квадратичной формы не меняется при ортогональном преобразовании, то , т.е. и имеют одинаковые знаки.


В уравнении (13) дополняем до полного квадрата члены, содержащие и , а также члены, содержащие и . После этого уравнение можно записать так:
(14)

Осуществим параллельный перенос системы координат ( ) на вектор , координатами которого в системе координат ( ) являются и . Тогда уравнение (14) в системе координат ( ) примет вид




(15)

Если , то уравнение (15) приводится к виду (I) или (III). Если - к виду (II).


. , следовательно, и , т.е. и - разных знаков.
Как и в первом случае, уравнение (13) можно привести к виду (15). В этом случае, если , уравнение (15) приводится к виду (IV), если - к виду (V).
. , следовательно, и , т.е. и равно нулю.
Будем считать, что , . Дополняя в уравнении (13) члены, содержащие и , до полного квадрата, получим


(16)

Если , то уравнение (16) можно записать в виде




. (17)

Осуществим параллельный перенос системы координат ( ) на вектор . Уравнение (17) в системе ( )примет вид:





Это уравнение сводится к виду (VI). Если , то уравнение (16) имеет вид:




.

Осуществив параллельный перенос системы координат ( ) на вектор , получим в системе координат ( ) уравнение




.

Это уравнение при приводится к виду (VII) или (IX), при - к виду (VIII).


Итак, если ,то уравнение (11) определяет фигуру эллиптического типа; если - гиперболического; если -параболического типа.
Можно сказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение (11) принимает канонический вид. Чтобы найти эту систему координат, поступаем следующим образом.
Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.
По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т.е. векторы - ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению.
Находим уравнение данной фигуры в системе координат ( )
В полученном уравнении производим дополнения до полных квадратов так, как это было указано выше. Находим координаты точки , которая является началом искомой системы координат.
В найденной системе координат ( ) уравнение данной фигуры имеет канонический вид.



Download 178,44 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©www.hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish