Основные понятия и теоремы. Линейные операторы

2.3 Ответы на теоретические вопросы

Записать общее уравнение фигуры второго порядка на плоскости.

Записать общее уравнение в матричном виде.

Что называется квадратичной формой, соответствующей уравнению ? Записать матрицу А этой квадратичной формы.

Сумма первых трех членов

является квадратичной формой двух переменных . Матрица этой формы имеет вид

Пусть в системе координат ( ) фигура задана уравнением или

+ + = 0

Как найти такой ортонормированный базис , чтобы квадратичная форма, соответствующая уравнению данной фигуры в системе координат ( ) имела канонический вид?

Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.
По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т.е. векторы - ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению. Ортонормированный базис мы находим с помощью формул:

где - собственные векторы, - их длины.

. Записать соответствующий канонический вид квадратичной формы

. Записать уравнение данной фигуры в системе координат ( )

При каком условии уравнение определяет фигуру:

а) эллиптического типа;
б) гиперболического типа;
в) параболического типа?
Если , то уравнение определяет фигуру эллиптического типа;
если ёе - гиперболического;
если - параболического типа, где А - матрица квадратичной формы.
Записать общее уравнение фигуры второго порядка в пространстве.


.

Записать общее уравнение в матричном виде.

+ + = 0

Что называется квадратичной формой, соответствующей уравнению:

Записать матрицу А этой квадратичной формы.

Сумма первых шести членов этого уравнения

является квадратичной формой трех переменных . Матрица этой формы имеет вид

Пусть в системе координат ( ) фигура задана уравнением



+ + = 0

. Как найти такой ортонормированный базис , чтобы квадратичная форма, соответствующая уравнению данной фигуры в системе координат ( ), имела канонический вид?

Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.
По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т.е. векторы - ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению. Ортонормированный базис мы находим с помощью формул:

где - собственные векторы, - их длины.

. Записать соответствующий вид квадратичной формы.

.

. Записать уравнение данной фигуры в системе координат ( )

ВЫВОДЫ

В настоящей курсовой работе была рассмотрена теория приведения общего решения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. Приведены ответы на теоретические вопросы. Построены график кривой в в каноническом виде и график поверхности в в каноническом виде.

Показано, что приведение кривых и поверхностей к каноническому виду значительно упрощает построение графиков.
Полученные результаты могут быть применены для конкретных задач построения подобных кривых и поверхностей.