O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus vazirligi muqumiy nomidagi qo’qon davlat pedagogikainstituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

2.2-§ Ratsional tenglamalarni yechish
Ratsional tenglama Bu tenglama bo'lib, unda ikkala tomon ham ratsional ifodalarni o'z ichiga oladi.Yana bir formulani turli qo'llanmalarda topish mumkin. Ratsional tenglama- bu shunday tenglama, uning chap tomonidagi yozuv ratsional ifodani, o'ng tomoni esa nolni o'z ichiga oladi. Ratsional tenglamalar uchun biz bergan ta'riflar ekvivalentdir, chunki ular xuddi shu narsani aytadilar. Bizning so'zlarimiz to'g'riligini tasdiqlaydigan narsa - bu har qanday oqilona ifoda uchun P. va Q tenglamalar P = Q va P - Q = 0 ekvivalent ifodalardir. Endi ba'zi misollarga murojaat qilaylik. Ratsional tenglamalar, xuddi boshqa turdagi tenglamalar singari, 1 dan bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olishi mumkin. Boshlash uchun biz tenglamalarda faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladigan oddiy misollarni ko'rib chiqamiz. Va keyin biz vazifani asta -sekin murakkablashtira boshlaymiz. Ratsional tenglamalar ikkita katta guruhga bo'linadi: butun va kasrli. Keling, har bir guruh uchun qanday tenglamalar qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.Agar uning chap va o'ng qismlari yozuvi to'liq ratsional ifodalarni o'z ichiga olsa, oqilona tenglama butun bo'ladi. Agar ratsional tenglama uning bir yoki har ikkala qismida kasr bo'lsa, kasrli bo'ladi.Kasrli ratsional tenglamalar, albatta, o'zgaruvchiga bo'linishni o'z ichiga oladi yoki o'zgaruvchi maxrajda bo'ladi. Butun tenglamalarni yozishda bunday bo'linish yo'q. 1 –misol 3 x + 2 = 0 va (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0,5- butun ratsional tenglamalar. Bu erda tenglamaning ikkala tomoni butun ifodalar bilan ifodalanadi. 1 x - 1 = x 3 va x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 Kesirli ratsional tenglamalar. Ratsional ifoda nima? Biz allaqachon bu tushunchaga duch kelganmiz. Ratsional ifodalar sonlar, o'zgaruvchilar, ularning darajalari va matematik amallar belgilaridan tashkil topgan ifodalar deyiladi. Shunga ko'ra, ratsional tenglamalar quyidagicha shakldagi tenglamalardir :, bu erda  - ratsional iboralar. Ilgari, biz faqat chiziqliga kamaytiradigan oqilona tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, kvadratiklarga ham kamaytirilishi mumkin bo'lgan oqilona tenglamalarni ko'rib chiqaylik. Misol :Tenglamani yeching:. Yechim:




Agar kasr 0 bo'lsa va maxraj 0 bo'lmasa, kasr 0 bo'ladi.
Biz quyidagi tizimni olamiz:

Tizimdagi birinchi tenglama - kvadrat tenglama. Uni hal qilishdan oldin uning barcha koeffitsientlarini 3 ga bo'linib olamiz.
Biz ikkita ildizni olamiz 2 hech qachon 0 ga teng bo'lmaganligi uchun ikkita shart bajarilishi kerak:  ... Tenglamaning yuqoridagi ildizlaridan hech biri ikkinchi tengsizlikni echish natijasida olingan o'zgaruvchining yaroqsiz qiymatlari bilan mos kelmagani uchun, ikkalasi ham bu tenglamaning echimidir. Javob:. Shunday qilib, keling, ratsional tenglamalarni echish algoritmini tuzaylik: 1. O'ng tomonda 0 olish uchun barcha shartlarni chap tomonga o'tkazing. 2. Chap tomonni o'zgartiring va soddalashtiring, barcha kasrlarni umumiy bo'linishga keltiring. 3. Olingan kasr 0 ga teng, quyidagi algoritmga muvofiq:  .
4. Birinchi tenglamada olingan ildizlarni yozing va javobdagi ikkinchi tengsizlikni qondiring. Yana bir misol keltiraylik. 2 -misol
Tenglamani yeching:  .
Yechim
Eng boshida biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz, shunda 0 o'ngda qoladi.

Endi biz tenglamaning chap tomonini umumiy qismga keltiramiz:





Bu tenglama tizimga teng:

Keling, ikkinchi tengsizlikni hal qilaylik: omillar mahsuloti 0 ga teng emas va agar omillarning hech biri 0 ga teng bo'lmasa.
Ikkita shart bajarilishi shart:  ... Biz birinchi tenglamaning ikkita ildizidan olamiz, faqat bitta mos keladi - 3. Javob:. Bu misollarda biz ratsional ifoda nima ekanligini esladik, shuningdek, kvadrat tenglamalarga kamaytiradigan ratsional tenglamalarni yechishni o'rgandik.