O'zbekiston respublikasi oliy va o'rta maxsusu ta'lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti ''fizika-matematika fakulteti fizika astronomiya yo'nalishi mustaqil ish Ta'lim yo'nalishi; Fizika va astronomiya Guruh -101 Talabaning

O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O'RTA MAXSUSU TA'LIM VAZIRLIGI

NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ''FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI FIZIKA ASTRONOMIYA YO'NALISHI

Mustaqil ish
Ta'lim yo'nalishi; Fizika va astronomiya Guruh -101 Talabaning F.I.SH. Darxonova Dildora Fan nomi; Matematik analiz Fan o'qituvchisi; Rajabov Ulug'bek

Integral tenglamalarning turlari Integral tenglamalar deb, odatda, nom ’lum funksiya integral ishorasi ostida bo'lgan tenglamalarga aytiladi. Biz bu kitobda nom a’lum funksiya chiziqli ishtirok etgan tenglamalarni, ya’ni ushbu b < p ( x ) - A . \ K ( x , y ) ( p ( y ) d y = f ( x ) ( i ) a ko’rinishdagi chiziqli integral tenglamalarni tekshiramiz. Bu yerda (p (x) — nom a’lum funksiya, К (x, y) va / (x) funksyalar mos ravishda {a < x < bj kvadratda va a < x < b oraliqda aniqlangan funksiyalar (a, b — o’zgarmas sonlar). Bu kvadrat va oraliqni asosiy kvadrat va asosiy oraliq deb yuritiladi. / (x) funksiya (1) integral tenglamaning ozod hadi, К (x, y) lining yadrosi, Я sonli ko’paytuvchi tenglamaning parametri deyiladi. Qayd qilib o ’tamizki, (1) bitta integral tenglama bo’lmay, balki sonli A parametrga bog’liq bo’lgan integral tenglamalar oilasidir. Agar AK (x, y) ko’paytmani K; (x, y) bilan belgilab, Kt (x, y) ni yangi yadro deb qarasak, u holda tenglamaning parametri 1 ga teng bo’lib qoladi. Lekin, A parametrni kiritish integral tenglamalarni o'rganishda foydali bo’lishiga keyinchalik biz ishonch hosil qilamiz. ( 1) integral tenglama ikkinchi tur chiziqli integral tenglama yoki bunday tenglamalami birinchi bo'lib o’rgangan matematik nomi bilan Fredgolm1 integral tenglamasi deyiladi. Agar / ( x ) = 0 bo'lsa, ya’ni b (p(Kx ) - A ^ K ( yx , y ) ( p ( y ) d y = 0 (2) a

tenglama ( 1) ga mos bo'lgan bir jinsli integral tenglama deyiladi. Bir jinsli ь \ l / ( x ) - A $ K ( y , x ) \ i / ( y ) d y = 0
tenglama (2) bir jinsli tenglamaga qo'shma integral tenglama deyiladi. Fredgolmning birinchi tur tenglamasi deb, b J K{x,y)(p{y)dy=f(x ) (4) a ko'rinishdagi integral tenglamaga aytiladi. Fredgolm tenglamalarida yadro va ozod had mos ravishda asosiy kvadrat va asosiy oraliqda uzluksiz, yoki ushbu b b J J [K(x,y)]2dxdy< + co (6) a shartlarni qanoatlantiradi, deb hisoblanadi. Ravshanki. К (x, y) yadro {(x,y) : a < x < b, a < x < bj kvadratda uzluksiz bo‘lsa, (5) shart bajariladi. (5) shartni qanoatlantiruvchi yadrolar Fredgolm yadrosi deb ataladi. Agar ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasining umumiy yechimi Ф (x) mavjud bo'lsa, и Ф ( х ) = ^ °(х ) + ^>(х) ko'rinishga ega bo'lishini tekshirib ko'rish qiyin emas, bunda j 0 (x) (2) tenglamaning umumiy yechimi, j (x) esa (1) tenglamaning xususiy yechimidir. Haqiqatan ham, agar Ф (x) va (p (x) mos ravishda bir jinsli bo'lmagan (I) tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari bo'lsa, ularning ayirmasi (p0 (x) = Ф (x) —
a (7) a ko'rinishdagi tenglama Volterraning1 ikkinchi tur integral tenglamasi, X J K ( x , y ) c p ( y ) d y = f ( x ) (8) a tenglama esa, Volterraning birinchi tur integral tenglamasi deyiladi. Volterra tenglamasini ayrim shartlar bajarilganda Fredgolm tenglamasining xususiy holi deb qarash mumkin. (7) tenglamada К (x, y) yadro masalaning m a’nosi bo'yicha ciMasalan, noma’lum funksiya n- darajasi bilan integral tenglamaga kirishi mumkin, ya’ni b (р(х)-Л \K (x ,y ) (pn (y ) dy = f(x) a N om a’lum funksiya integral tenglamada umumiyroq holda ham qatnashishi mumkin, masalan b q>(x)= \ K [ x , y , ( p { y ) ) d y a Bu tenglamani Urison tenglamasi deyiladi. Urison tenglamasining muhim xususiy holi bo'lgan ushbu b (p(x) = \K (x’y)F(y’