Применение двукратных и трехкратных интегралов

§1. Вычисление площади плоской области с помощью двукратного интеграла.
Площадь квадрируемой области на плоскости выражается формулой:
. (2)
В полярных координатах , формула площади примет вид:
. (3)
Задача 1. Найти площадь области, ограниченной кривыми и .
Решение. Находим координаты точек пересечения заданных кривых, решая систему уравнений:

Выражая из второго уравнения и подставляя в первое уравнение, получим:
,
.
Находим дискриминант , тогда:
; .
При этом ; .
Итак, точки пересечения ; (рис. 2).
По формуле (2) имеем:
.
Область является правильной в направлении оси . Для области изменяется от до ; изменяется от параболы до прямой , то есть:
.

Рис. 2
Расставляя пределы интегрирования, находим:







.
§2. Вычисление площади поверхности с помощью двукратного интеграла.
Если гладкая поверхность задана уравнением и – проекция данной поверхности на плоскость , то площадь поверхности выражается формулой:
(2)
Задача 2. Найти площадь поверхности конуса:

расположенную внутри цилиндра:
.
Решение. В силу симметричности поверхности относительно плоскости будем вычислять площадь верхней части поверхности при , а результат удваивать.
Из уравнения конуса имеем для верхней части:

Тогда:

Отсюда:

Проекцией поверхности конуса на плоскость является круг: с центром в точке (0,0) и радиусом (рис. 3).
Тогда по формуле (2) получим:
.
Переходя к полярным координатам, находим:

.
Следовательно, площадь всей поверхности:
.