Программа вступительного испытания в аспирантуру направление подготовки

Тема 9. Дифференциальная геометрия 
Кручение и кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. 
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичные 
формы поверхности. Нормальная кривизна линии на поверхности. Индикатриса 
Дюпена. Главные направления и главные кривизны. Теорема Родрига. Линии 
кривизны. Средняя и полная кривизны поверхности.
Деривационные формулы. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема 
еgregium. Геодезические линии. Полугеодезическая система координат.Дефект 
геодезического треугольника. Формула Гаусса-Бонне. 
4. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 
1. Геометрическое векторное пространство. Линейная зависимость и линейная 
независимость векторов и их геометрический смысл. Базис векторного 
пространства. Координаты векторов относительно базиса.
2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов их свойства 
3. Задание плоскости в пространстве , общее уравнение плоскости. Взаимное 
расположение плоскостей. Угол между плоскостями и расстояние от точки до 
плоскости. 
4. Общие и параметрические уравнения прямой в пространстве. Взаимное 
расположение прямой и плоскости, двух прямых. Угол между прямыми, 
расстояния от точки до прямой и между двумя прямыми в пространстве. 
5. Движения плоскости и их свойства. Классификация движений, теорема Шаля. 
Движения плоскости как произведения симметрий. 
6. Подобия плоскости их свойства. Классификация подобий. 
7. Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных 
преобразований и ее подгруппы. Перспективно-аффинные преобразования.

---

 
8. Аксиоматика проективной плоскости. Прямые и их свойства. модели 
проективной плоскости. Проективная система координат и координаты точек и 
прямых Принцип двойственности. Теорема Дезарга и обратная к ней. 
9. Двойное отношение четверки коллинеарных точек и его свойства. Двойное 
отношение четырех прямых пучка. Гармонические четверки точек и их связь с 
полными четырехвершинниками. 
10. Проективные и перспективные отображения прямых и пучков. Инволюции. 
Проективные преобразования проективной плоскости и их свойства. 
Аналитическое задание проективных преобразований. Гомология и ее свойства.
11. Линии второго порядка на проективной плоскости. Полюс и поляра. 
Поляритет.
12. Прямая и обратная теоремы Штейнера.
13. Теорема Паскаля и Брианшона. 
14. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского. 
Свойства треугольников и четырехугольника Саккери. Угол параллельности и его 
свойства. Функция Лобачевского. 
15. Свойства расходящихся прямых. Три типа пучков прямых и их предельные 
линии. Свойства окружности, эквидистанты и орицикла. 
16. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы 
аксиом плоскости Лобачевского. 
17. Топология и топологические пространства. Примеры. Метрическая и 
евклидова топологии. Подпространства топологического пространства. 
Внутренние, внешние и граничные точки подмножеств топологического 
пространства. Оператор замыкания и его свойства. 
18. Связные и несвязные топологические пространства и их свойства. Примеры. 
Строение несвязных топологических пространств. Компоненты связности. 
19. Базы топологии. Определение топологии посредством базы. Первая и вторая 
аксиомы счетности. Примеры пространств, удовлетворяющих этим аксиомам. 
Сепарабельность и ее связь со второй аксиомой счетности. Аксиомы отделимости. 
Нормальность метрических пространств. 
20. Компактные топологические пространства и их основные свойства. Счетная 
компактность и ее связь с компактностью. Критерии счетной компактности. 
Критерии компактности подмножеств метрических и евклидовых пространств. 
21. Кручение и кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. Касательная 
плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичные формы 
поверхности. 
22. Нормальная кривизна линии на поверхности. Индикатриса Дюпена. Главные 
направления и главные кривизны. Теорема Родрига. Линии кривизны. Средняя и 
полная кривизны поверхности. 
23. Деривационные формулы. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема 
egregium. Геодезические линии. Полугеодезическая система координат. Дефект 
геодезического треугольника. Формула Гаусса