Прямая и плоскость в пространстве

Уравнение (11) называют векторным параметрическим уравнением плоскости, в котором - радиус-вектор начальной точки плоскости , и - направляющие векторы плоскости, u и v - параметры.

V. Различные виды уравнения плоскости в .
Факт компланарности векторов , и отражается в равенстве нулю их смешанного произведения, тогда можно получить еще одно векторное уравнение плоскости в виде
. (12)
Выберем вектор перпендикулярным плоскости и умножим обе части уравнения (11) на вектор скалярно. Вследствие перпендикулярности векторов и , и их скалярные произведения равны нулю, тогда
. (13)

Уравнение (13) называют нормальным векторным уравнением плоскости, а вектор - нормальным вектором плоскости.

Пусть в выбранной системе координат Oxyz с ортонормированным базисом направляющие векторы плоскости имеют координаты и , а начальная точка имеет координаты , тогда от уравнения (11) можно перейти к параметрическим уравнениям плоскости в координатной форме
. (14)
а от векторного уравнения (12) к уравнению в виде
. (15)
Обозначим координаты нормального вектора плоскости через A, B и C. Тогда скалярное произведение в левой части (13) можно представить в виде

или
, (16)
где .
Уравнение (16) называют общим уравнением плоскости.
Если в (16) свободный член D перенести в правую часть и поделить уравнение почленно на -D , получим уравнение плоскости "в отрезках":

. (17)
где a, b, c - отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.



Уравнение "в отрезках" нельзя составить для плоскостей, параллельных координатным плоскостям или проходящим через начало координат.


VI. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Признаки параллельности.
Рассмотрим взаимное расположение двух прямых на плоскости: они могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо совпадать (см. рис. 6)








Рис. 6
Если прямые параллельны или совпадают, то их направляющие и нормальные векторы коллинеарны, т.е. и .
Если прямые совпадают, то вектор , соединяющий их начальные точки, также коллинеарен направляющим. Когда прямые заданы общими уравнениями и , то в случае их параллельности коэффициенты A и B пропорциональны, т.е.
, (18)
а в случае совпадения этих прямых пропорциональными становятся и коэффициенты C, т.е.
. (18)
В противных случаях прямые пересекаются.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве также характеризуется перечисленными выше тремя случаями: плоскости параллельны или совпадают, если их нормальные векторы коллинеарны, т.е.
. (19)
Плоскости совпадают, когда вектор ортогонален вектору или , т.е.
. (19)
Если условие параллельности плоскостей не выполняется, то плоскости пересекаются по прямой линии, направляющий вектор которой можно найти из условия ортогональности его векторам и одновременно, тогда . Начальная точка такой прямой может быть найдена как точка пересечения ее с одной из координатных плоскостей.
Когда плоскости заданы общими уравнениями, условие их параллельности записывается в виде
, (20)
а в случае совпадения плоскостей пропорциональны все коэффициенты общих уравнений:
. (20)
Две прямые линии и в пространстве могут:
1) совпадать, тогда векторы , и коллинеарны, то есть
; (21)
2) быть параллельными, тогда векторы и коллинеарны, а вектор
неколлинеарен с ними, т.е.
; (22)
3) пересекаться, тогда векторы и неколлинеарны, но лежат в одной плоскости с вектором . Условие пересечения прямых можно сформулировать как условие компланарности трех векторов:
; (23)
4) скрещиваться, тогда векторы , и некомпланарны:
. (23)
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве характеризуется следующими тремя случаями:
1) прямая может быть параллельна плоскости, тогда ее направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору плоскости или компланарен направляющим векторам плоскости, т.е. ;
2) прямая может лежать в плоскости, тогда к условию 1) добавляется требование, чтобы начальная точка прямой принадлежала плоскости;
3) прямая линия пересекает плоскость, если условие не выполняется.


VII. Основные задачи о прямых и плоскостях (углы между прямыми
и плоскостями, расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости).
Среди основных задач о прямых и плоскостях рассмотрим следующие:
1) Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть прямая проходит через точки и . Необходимо записать ее канонические уравнения. В качестве начальной точки можно принять одну из точек или , в качестве направляющего вектора - вектор с координатами .
Тогда в соответствии с (10) уравнения прямой имеют вид:
. (24)

2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , . За начальную точку прямой примем точку , а за направляющие векторы , . Тогда уравнение плоскости в форме (16) примет вид:

. (25)

3) Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть дана точка с радиус-вектором и прямая . Найти расстояние от точки до заданной прямой.
Обозначим через проекцию точки
на прямую. Вектор по построению коллинеарен нормальному вектору прямой, направлен в противоположную сторону и имеет длину, равную расстоянию от точки до прямой. Он может быть рассмотрен и как проекция вектора на направление нормали, тогда
.



Если прямая задана общим уравнением , то ее нормальный вектор имеет координаты и длину , тогда расстояние от точки до прямой может быть вычислено по формуле
. (26)

Аналогичным образом вычисляется и расстояние от точки до плоскости

. (27)
4) Задачи, связанные с отысканием углов между их направляющими и нормальными векторами.