R. M. Turgunbaev

5-§. Murakkab funksiyaning hosilasi.

Teskari funksiyaning hosilasi.

1. 
   Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=(x) funksiya (a,b)
   

intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar

yordamida y=f((x)) murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, x(a,b)
da u=(x)(c,d) bo‘lishi talab qilinadi).
Teorema. Agar u=(x) funksiya x(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=(x) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda y=f((x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(f((x)))’=f’(u)’(x) (5.1)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. u=(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lganligi uchun uning x
nuqtadagi orttirmasini (2.1) formuladan foydalanib
u=’(x)x+x (5.2)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu erda x0 da 0.
Shunga o‘xshash, y=f(u) funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini
y=f’(u)u+u (5.3)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda u0 da 0.
So‘ngi (5.3) tenglikdagi u o‘rniga uning (5.2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo‘yamiz. Natijada
y=f’(u)(’(x)x+x)+(’(x)x+x)= f’(u)’(x)x+(f’(u)+’(x)+)x
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar x0 bo‘lsa, (5.2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (5.3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni  bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan
^y = f’(u)’(x)+ va lim ^y =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa
x x0 _x
y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi.


Misol. y=^ x² 

_{2 }4

x


funksiyaning hosilasini toping.

Yechish. Bu erda y=u⁴, u= ^ x²  ^{2 } . Demak, y’=(u⁴)’^ x²  ^{2 } ’=

 ²  

   

x

x
   
² ³ ¹ 

=4u³ _ 2x  _=8 _ x² 
_{ } x  _ .

 ^x2  
^x   ^x2 

Amalda (5.1) tenglikni
dy _ dy _ du

yoki y_x’=y_u’u_x’

dx du dx
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan y_u’ marta tez, u esa x ga nisbatan u_x’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan y_u’u_x’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni y_x’=y_u’u_x’.

Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda y_x’=y_u’u_t’t_x’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.

2. Teskari funksiyaning hosilasi.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va x(a,b) uchun f’(x)0 bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=, f(b)=. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [;] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=(y) funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti y ga y0 orttirma beramiz. U holda x=(y) funksiya biror x=(y+y)-(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan x0, uzluksizligidan esa y0 da x0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra

lim
x _ 1
 ¹ , demak x_y’=’(y)=1/f’(x) formula o‘rinli ekan.

y0 _y
lim ^x
f ' ( x )

x0 _y
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va
y(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi

1
x' _y  _y'
(5.4)

x
formula bilan ifodalanadi.

6-§. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari

1. 
   y=x^ (x>0) darajali funksiyaning hosilasi
   

Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi y=(x+x)^-x^=x^((1  ^x )^-1) ga
x
_ (1  ^x )^  1 _

teng va
^y _{ x}^{ 1} x
bo‘ladi. Ma’lumki,
_lim (1  x )
^{ 1}   . Shuning

_x x
x


x0 _x

_ (1 ^x )^ 1

uchun
lim ^y  lim x^1  ^x  x^1 . Bundan funksiyaning x nuqtadagi

x0 _x x0 x x
hosilasi mavjud va y’=x^-1 bo‘ladi.
Demak, (x^)’=x^-1 va d(x^)=x^-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^ ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))^)’=(u(x))^-1u’(x), d((u(x))^)= (u(x))^-1u’(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), =3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra y’=3(x²+1)²((x²+1)’=3((x²+1)²2x=6x(x²+1)² bo‘ladi.

2. Ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi.

y=a^x (a>0, a1) ko‘rsatkichli funksiya uchun y=a^x+x -a^x=a^x(a^x-1) va
y a^x ( a^x  1)

x ^
x ^.
Ma’lumki,
lim


a^x  1


 ln a . Shuning uchun lim

y _

lim


a^x 1

x
a =

x0 _x
x 0 _x
x 0 _x

=a^xlna mavjud. Demak (a^x)’=a^xlna va d(a^x)’=a^xlnadx, xususan, (e^x)’=e^x va
d(e^x)’=e^xdx formulalar o‘rinli ekan.
Ko‘rinib turibdiki, y=e^x funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o‘ziga teng ekan.
Misol. y=e^x funksiya grafigi Oy o‘qini qanday burchak ostida kesib o‘tadi?
Yechish. Funksiya grafigi Oy o‘qini (0;1) nuqtada kesib o‘tadi. Funksiya grafigiga shu nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=e^x va y’(0)=e⁰=1, bundan esa urinmaning Ox o‘qi bilan kattaligi /4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o‘qi bilan ham kattaligi /4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qiladi.
1-rasmda y=e^x funksiya grafigi
berilgan, bunda funksiya grafigi 10-rasm
x=0 nuqta atrofida y=x-1 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.

Yuqoridagi misolda olingan natija e soniga quyidagicha ta’rif berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o‘qini /4 burchak ostida kesib o‘tuvchi ko‘rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi.
a^u(x) (a>0, a1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o‘rinli bo‘lishini ko‘rish qiyin emas: (a^u(x))’= a^u(x)u’(x)lna, d(a^u(x))= a^u(x)u’(x)lnadx.
Masalan, (3^5x-3)’=3^5x-3(5x-3)’ln3=53^5x-3ln3.

3.