Рациональное число. Множество рациональных чисел Что такое ломаное число? 3

Содержание

1. Рациональное число. Множество рациональных чисел 3

2. Что такое ломаное число? 3
3. Древнекитайская задача с дробями 5
4. Обыкновенные дроби в Старой Индии 5
5. Дроби в Древнем Египте 6
6. Дроби в Древнем Риме 6
7. Вавилонские шестидесятеричные дроби 6
8. Нумерация и дроби в Древней Греции 7
9. Нумерация и дроби на Руси 8
10. Дроби в других государствах древности 8
11. О простых числах. Евклид, Эратосфен, Чебышев 9
12. О задаче Гольдбаха. Нерешенные задачи теории чисел 10
13. Ал-Хорезми и его «Арифметика» 11
14. Абацисты и алгоритмики в средневековой Европе 12
15. От натуральных к дробным числам 13
16. О периодических дробях 13
17. Десятичные дроби 14
18. Из истории нуля 15
19. Число и отношение 16
20. Пропорции в Древней Греции 16
21. Как записывали пропорции в прошлом 17
22. Об измерении земного меридиана Эратосфеном 17
23. Недостаточность рациональных чисел 18
22. От эмпирической к теоретической арифметике 19
Список литературы: 19

1. Рациональное число. Множество рациональных чисел


Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.
Множество рациональных чисел
Множество рациональных чисел обозначается Q и может быть записано в виде:

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, , входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь gcd(m,n) — наибольший общий делитель чисел m и n.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).