Радиоэлектроника асослари муҳаррир — Қ. Азимов

1.2. Сигнал спектри. Спектрал диаграммалар

Умуман олганда барча электр тебранишларининг асосий параметрлари тасодифий қонун бўйича ўзгара- ди. Шунинг учун уларни бирор аниқ функция орқали ифодалаш мумкин эмас. Лекин кўп тебранишлар пара- метрининг тасодифий ўзгариши шундай кичик бўладики, уларни ҳисобга олмаслик мумкин. Бундай тебра­нишлар вақт бўйича аниқ функция орқали ифодалана­ди ва аниқланган сигнал ҳисобланади. Ammo уларнинг математик ифодаси жуда мураккаб бўлиши мумкин. Шунинг учун аниқланган сигналларни ўрганишда ифодаловчи функциянинг маълум даражадаги аниқлик би­лан текширилаётган тебранишни акс эттирадиган содда ифодасини топиш талаб қилинади. Бошқача қилиб айтганда, тебраниши у (t) функция орқали ифодаланса, бирор вақт оралиғида унга яқин бўлган тақри- бий f (t) функцияни танлаш лозим. Бунда у (t) ва f (t) функцияларнинг бир-бирига қанчалик яқин бўлиши уни баҳолаш усули билан белгиланади.

Кўпинча у (t) функцияни чизиқли кўп ҳадлар йигиндиси деб қаралади:


Бунда φ₁(t) функциялар мажмуаси базис (асос) система деб аталади. Агар функциянинг базис системаси маълум бўлса, y(t) тебраниш С, коэффициентлар орқали тўлиқ характерланади. У y(t) тебранишнинг спектри деб аталади. С_i коэффициентларни аниқлаш φ_i(t) функция қандай танланганлигига боғлиқ. Агар у ихтиёрий бўлса, С_i ни ҳисоблаш жуда қийин бўлади. Шунинг учун кўпинча φ₁(t) базис функ­ция сифатида ортонормал функция олинади. Унинг (а,b) оралиқдаги ортонормаллик щарти қуйидаги кўринишда ифодаланади:



Унда
(1.2)
бўлиб, y(t) аниқланган тебраниш


(1.2)
қатор орқали ифодаланади. Бу қатор умумлашган фурье қатори деб аталади.
(1.3) ёрдамида ўрганилаётган сигнал функциясини ташкил этувчиларга ажратиш энг қулай усул бўлиб ҳисобланади. Лекин ортонормал ψ₁(t) базис функция- ларнинг чексиз кўп бўлиши ҳисоблаш ишини қийин- лаштиради. Шунинг учун амалда масала шартининг қўйилишига қараб базис функция системасини танлашда (1.3) қаторнинг энг кам сондаги ҳадларини олишга ҳаракат қилинади. Базис функцияни танлаш усуллари жуда кўп. Шулардан энг кўп тарқалгани сигнални гар­моник тебранишлар йиғиндиси деб қарашдир.
Агар аниқланган сигнал даврий бўлса, унинг функ­цияси гармоник тебранишлар йиғиндиси кўринишида (Фурье қатори) қуйидагича ифодаланади:


(1.4)

бунда, n= 1, 2, 3,,.. — натурал сонлар, - асосий

частота T — тебраниш даври, а₀, а_n ва b_n—Фурье коэффициентлари.
Фурье коэффициентлари қатордаги гармоник таш­кил этувчиларнинг амплитудасини ифодалайди ва қу- йидагича аниқланади.


(1.5)
Кўпинча Фурье қаторини фазалари жиҳатдан фарқ қиладиган бир хил функциялар йиғиндиеи деб қараш қулай бўлади:


(1.4a)
Бунда

(1,5а)

Комплекс соҳада (1.4a) пфода қуйидагича ифодаланади:

(1.4б)
Бу ерда
(1.5б)

Бундаги манфий частоталар ифодани комплекс деб қаралишига алоқадор бўлиб, у физик маънога эга эмас. Демак, у (t) даврий функция nω частотали гармоник ташкил этувчилар йиғиндисига тенг. Унинг ҳар бир таш­кил этувчиси сигнал гармоникаси дейилади. п = 1 га тўғри келувчи гармоника асосий ёки биринчи гармоника, қолганлари — юқори гармоникалар деб юритилади. Қаторнинг ўзи эса, сигнал спектри бўлади. a₀ ўзгармас ташкил этувчи у (t) функциянинг бир давр ичидаги ўртача қийматини ифодалайдиган катталикдир.

Сигнал спектридаги гармоникаларнинг амплитуда- си ва бошланғич фазаси тартиб номери п га боғлиқ миқдорлар бўлгани учун у икки хил спектрга ажрати- лади.

1. 
   Амплитуда — частотавий спектр—С_n=С_n(nω₀),
   
2. 
   Фаза — частотавий спектр — ω_n= ω_n (nω₀).
   

Улар спектрал диаграммаларда ифодаланади. Бу- нинг учун абсциссалар ўқига ташкил этувчилар тартиб номери п ёки частотаси nω₀ ордииаталар ўқига эса, уларнинг амплитудаси ёки бошланғич фазасига мос қилиб танланган тўғри чизиқ кесмалари вертикал ҳолда жойлаштирилади (1.1-расм).

1.1-расм. Мураккаб сигналнинг амплитуда-частотавнй (а) ва фаза-частотавнй (б) спектрал диаграммаси.

l.l.-расмдаги спектрал диаграммалар шуни кўрса- тадики, даврий функция орқали ифодаланувчи сигнал­нинг спектри чизиқли, яъни дискрет бўлиб, бир-биридан ω₀ миқдорга сурилган бўлади. Шуни айтиш керакки, қатордаги айрим ташкил этувчи- ларнинг амп­литудаси нолга тенг бўлиб, диаграммада чизиқча бўлмаслиги мумкин. Лекин бу билан спектрнинг чизиқлилиги ўзгармайди.

Агар сигнал даврий бўлмаса, унинг спектри Фурье интеграли орқали ифодаланади. Математика курсидан маълумки, Фурье интегралини хосил қилишда даврий бўлмаган функция даври чексизга тенг даврий функция деб қаралади, яъни Фурье коэффициентлари ифодасини қаторга қўйиб, Т→∞ ҳол учун лимит олинади. Агар у Фурье қаторининг комплекс ифодаси учун бажарилса, қуйидаги ифода ҳосил бўлади.


(1.6)
Бу Фурьенинг тескари алмаштириши деб аталади. Ундаги
(1.7)
эса, Фурьенинг тўғри алмаштириши бўлади.


S(ω)спектрал функция ёки амплитудаларнинг спект- рал зичлиги деб аталади. У бирлик частота оралиғига (∆ω) тўғри келадигаи сигнал спектрини ифодалайди ва спектрал диаграммада спектр чизиқларининг учла- рини қопловчи чизиқ деб қаралади.
Даврий сигналнинг тебраниш даври ортиши билан спектр чизиқлари зичлашиб, амплитудалари кичрая бошлайди. Бунда спектрнинг зичлашиши бошланғич спектр чизиқлари орасида янги ташкил этувчиларнинг ҳосил бўлиши билан боғлиқ бўлгани учун амплитуда- ларининг кичрайиши уларнинг қопловчи чизиғини ўзгаришсиз қолишини таъминлайди. Масалан, тебраниш даври тўрт марта ортса, спектрал чизиқлар сони ҳам тўрт марта кўпайиб, амплитудалари тўрт марта кичраяди. Лекин уларнинг қопловчи чизиғи бошланғич ҳолатини сақлайди (1.2-раcм). Шунга кўра даврий бўлмаган сигнал даври чексизга тенг даврий тебраниш деб қаралгани учун Фурье интегралини амплитудала­ри чексиз кичик бўлган чексиз сондаги гармоник теб­ранишлар йиғиндиси деб қараш керак. Унинг спектр чизиқлари бир-биридан ажралмаган бўлади.
Д емак, даврий бўлмаган сигнал спектри яхлит бў- лади.
Спектрал диаграммалар ёрда- мида сигнал спектрининг кенглигини баҳолаш мумкин. Аммо бу мақсадда Фурье қаторидан бевосита фойда- ланиш мумкин эмас, чунки у чексиздир. Унинг ёрдамида сигналнинг қисқартирилган
1.2- раcм. Спектр зичлигининг спектрини аниқлаш мумкин.