Reja: O`lchоvli to`plamlar haqidagi tеоrеmalar 2

O`lchоvli to`plamlar haqidagi tеоrеmalar
Reja:
1. O`lchоvli to`plamlar haqidagi tеоrеmalar
2. O`lchovning additivlik xossasi

Tayanch tushunchalar: to`plam o`lchovi, tashqi o`lchov, ichki o`lchov, sanoqli to`plam


1-Teorema. Agar to`plam o`lchovli bo`lsa, u holda ham o`lchovli to`plam bo`ladi.
Isbot. o`lchovli bo`lganligi uchun

Ichki o`lchovning ta`rifiga muvofiq,

yoki
(1)
Shuning singari
(2)
(1) va (2) dan

tengliklar, ya`ni to`plamning o`lchovli ekanligi kelib chiqadi.
2-Teorema(A.Lebeg). to`plam o`lchovli bo`lishi uchun uni
(3)
ko`rinishda yozish mumkinligi zarur va kifoyadir, bu tenglikning o`ng tomonida , va to`plamlar ihtiyoriy berilgan songa muvofiq quyidagicha tuzilgan: o`zora keshishmaydigan soni cekli oraliqlar sistemasining yig`ndisidan iborat, va ning har biri tashqi o`lchovi sondan kichik bo`lgan to`plamlar. (3) tenglik bajarilganda quyidagi munosabat ham o`rinli bo`ladi:
(4)
Zarurligini isboti. to`plam o`lchovligidan foydalanib, uni (3) ko`rinishda yozish mumkinligini ko`rsatamiz. to`plam o`lchvli bo`lgani uchun:

Tashqi o`lchov tarifidan foydalanib,o`zaro keshishmaydigan shunday oraliqlar sistemasini tuzish mumkinki, bular uchun
(5)
(6)
munosabatlar o`rinli bo`ladi.
Bu sistemadan daslabki oraliqning yigindisini bilan belgilaymiz, yani

to`plamning to`plamga kirmagan elementlaridan iborat bo`lgan to`plamni bilan belgilasak, (6) munosabatga asosan ushbu
(7)
munosabatga ega bo`lamiz. Agar to`plamning to`plamga kirmagan elementlaridan iborat bo`lgan to`plamni bilan belgilasak , to`plamlarning tuzilishiga muvofiq

tenglik o`rinli bo`ladi.
to`plam o`zaro keshishmaydigan ta oraliqning yig`indisidan iborat bo`lgani uchun o`lchovli to`plam bo`ladi va uning o`lchovi

(5) tengsizlikdan qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi . Bundan berilgan uchin nomerni shunday tanlashimiz mumkinki, natijada
(8)
tenglik o`rinli bo`ladi. (7), (8) munosabatdan esa

tengsizlik kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, to`plamni o`z ichiga olgan eng kichik segment bo`lsin. U holda 1-teoremaga asosan to`plam o`lchovli bo`ladi. Tashqi o`lchovning ta`rifidan foydalanib, o`zaro kesishmaydigan shunday oraliqlar sistemasini tuzamizki, bular uchun ushbu
(9)
va
(10)
munosabatlar o`rinli bo`ladi. (9) va (10) munosabatlardan

munosabat kelib chiqadi. Bundan ushbu

tengsizlikka ega bo`lamiz. Bunga (5) va (9) tengsizliklarni qo`llab,

yoki
(11)
tengsizlikni olamiz. to`plamning ta`rifiga muvofiq,

Bundan to`plam tuzilishiga va (10) munosabatga asosan, ushbu

munosabatni olamiz. Demak,

Bundan (11) tengsizlikka asosan tengsizlik kelib chiqadi. Zarurligi isbotlandi.