Mavzu: Matematik programmalashtirishda optimal yechim va uning tahlili Reja 1. Umumiy tushunchalar. 2. Chiziqli programmalashtirish masalasi va uning qo’yilishi.
Umumiy tushunchalarMatematik modellar o‘zida ob’ektning abstrakt ifodasini belgilar (simvol)lar orqali aks ettiradi, shuning uchun ham ularni abstrakt modellar deb ham atashadi. Ular odatda tenglamalar va tengsizliklar majmuasidan, modellashtirilayotgan ob’ekt, hodisa, jarayonlarni matematik ifodalashning jadval, grafik, formula ko‘rinishlaridan iboratdir.
2. Chiziqli programmalashtirish (ChP) masalasining qo’yilishi Matematikaning asosiy bo’limlaridan biri matematik programmalashtirish, matematik model-larning son qiymatini topish bilan shug’ullanadi. Bu yerda «Programmalashtirish» atamasi ketma-ket yaqinlashish algoritmidan foydalanish degan ma’noni bildiradi, ya’ni programma mumkin bo’lgan rejadan boshlab, uni eng yaxshi yechim hosil bo’lgunicha yangilab boradi.
Matematik programmalashtirish masalasi quyidagicha ifodalanadi. o’zgaruv-chilar berilgan bo’lib, bu o’zgaruvchilar turli xildagi sonli qiymatlarni qabul qiladi. Bu noma’lumlarga ma’lum bir shartlar qo’yilib, bulardan cheklanishlar sistemasi hosil bo’ladi. Cheklanishlar sistemasi deganda tenglama yoki tengsizliklar sistemasi tushuniladi, Ma’lumki ular chiziqli ko’rinishga ega (ya’ni bunda o’zgaruvchilar birinchi darajada qatnashadi):
lekin ular chiziqli bo’lmagan ko’rinishda ham bo’lishi mumkin : (1) Shunday qilib cheklanishlar sistemasi aralash holda (chiziqli va chiziqli bo’lmagan ifodalarni) ham o’z ichiga olishi mumkin. Undan keyin qidirilayotgan miqdorlardan tashkil topgan, mezon (foyda, xarajat, tannarx)ni ifodalovchi funktsiya tuziladi. Uni masalaning maqsad funktsiyasi yoki funktsionali deb atashadi. U ko’pincha chiziqli ko’rinishda bo’ladi: (4)
Shunday qilib, o’zgaruvchilarning cheklanishlar sistemasini qanoatlantiruvchi shunday qiymatini topish talab qilinadiki, natijada maqsad funktsiya eng katta yoki eng kichik qiymat qabul qilsin.
Agar qidirilayotgan o’zgaruvchilarga nisbatan cheklanishlar sistemasi va maqsad funktsiya chiziqli bo’lsa, u holda chiziqli programmalashtirish masalasi hosil bo’ladi; agar bironta bir chiziqli bo’lmagan ifoda mavjud bo’lsa, u holda chiziqli bo’lmagan programmalashtirish hosil bo’ladi. Bu ikkala turdagi masalalarni yechish usullari mavjud.
Agar qidirilayotgan o’zgaruvchilarga nisbatan cheklanishlar sistemasi va maqsad funktsiya chiziqli bo’lsa, u holda chiziqli programmalashtirish masalasi hosil bo’ladi; agar bironta bir chiziqli bo’lmagan ifoda mavjud bo’lsa, u holda chiziqli bo’lmagan programmalashtirish hosil bo’ladi. Bu ikkala turdagi masalalarni yechish usullari mavjud.
O’zgaruvchilarning har qanday sonli qiymatlari to’plami masalaning rejasi deb aytiladi; cheklanishlar sistemasini qanoatlantiruvchi rejaga mumkin bo’lgan reja deb aytiladi. Maqsad funktsiyani maksimallashtiradigan (yoki minimallashtiradigan) mumkin bo’lgan rejaga optimal reja deb aytiladi. Ma’lumki, masalada mumkin bo’lgan yechimlar cheksiz ko’p bo’lib, yechilish algoritmi bu yechimlar ichidan optimal rejani topishga qaratilgan. O’zgaruvchilarning bironta bir manfiy bo’lmagan qiymatlar to’plamiga javob bermaydigan chiziqli va chiziqli bo’lmagan cheklanishlar sistemasi birgalikda bo’lmagan deb aytiladi va bunday masalalar yechimga ega bo’lmaydi. Birgalikda bo’lgan sistemalar esa hech bo’lmaganda bitta mumkin bo’lgan yechimga ega bo’ladi. Iqtisodiy rejalarni tuzishning bir necha tur variantlari bo’lishi mumkin . Matematik programmalashtirish mavjud bo’lgan hamma variantlarda oldindan qo’yilgan shartlar bajarilganda rejaning optimal variantini topishga xizmat qiladi. Chiziqli programmalashtirish masalasini ifodalashning bir necha variantlari mavjud bo’lib , ularning ikki turi ko’p qo’llaniladi.
Har qanday tengsizlik ko’rinishdagi cheklanishni qo’shimcha manfiy bo’lmagan qo’shimcha o’zgaruvchilarni qo’shish orqali tenglama ko’rinishga aylantirish mumkin.
shart quyidagi ikkita cheklanishga ekvivalentdir:
.
o’zgaruvchilarga qo’shimcha o’zgaruvchilar deyiladi. Bu ko’rinishda ifodalangan masalaga standart chiziqli programmalashtirish masalasi deb aytiladi.
Chiziqli programmalashtirish masalasining kanonik ko’rinishi deb quyidagigga aytiladi:
(5)
maqsad funktsiya va
(6)
...............................................
Matematik programmalashtirish masalalarining tasnifi Matematik programmalashtirish masalalari maqsad funktsiyasi va shartlarning turlariga qarab tasniflanadi. Agar maqsad funktsiya va shartlar chiziqli bo’lsa (ularning tarkibidagi x lar darajaga ko’tarilmasa) bunday masalalar chiziqli programmalashtirish masalalari bo’ladi. Yuqorida keltirilgan masalalar chiziqli masalalardir.
Agar maqsad funktsiya yoki bironta shart chiziqli bo’lmasa ham bu masala chiziqli bo’lmagan matematik programmalashtirish masalasidir.
Optimal dasturlash masalasining kanonik ko‘rinishdagi iqtisodiy-matematik modeli.
(1)-masalasiningmaqsad funksiyasi; (2), (3), (4)-masalasining chegaraviy shartlari; (5)-noma’lumlarning nomanfiylik sharti.
Optimal dasturlash masalasining yoyilgan iqtisodiy-matematik modeli
Maqsad funksiya:
Chegaraviy shartlar: O‘zgaruvchilarning nomanfiylik sharti:
Nazorat uchun savollar.
Matematik programmalash deganda nimani tushunasiz.
Optimal yechim nima.
Chiziqli dasturlash masalasini qanday yechish usullari mavjud.
