Системы линейных уравнений

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. Постановка задачи.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.
III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.
IV. Матричный метод решения систем уравнений.
V. Метод Гаусса.


I. Постановка задачи.

Систему уравнений вида

(1)
называют системой m линейных уравнений с n неизвестными . Коэффициенты уравнений этой системы записывают в виде матрицы

которую называют матрицей системы (1).
Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных членов {B}:
.
Если столбец {B}={0}, то система уравнений называется однородной. В противном случае, когда {B}≠{0} – система неоднородна.
Система линейных уравнений (1) может быть записана в матричном виде
[A]{x}={B}. (2)
Здесь - столбец неизвестных.
Решить систему уравнений (1) - значит найти совокупность n чисел такую, что при подстановке в систему (1) вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество. Числа называются решением системы уравнений.

Система линейных уравнений может иметь одно решение

,
может иметь бесчисленное множество решений

или не иметь решений совсем
.
Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесчисленное множество решений.


II. Совместность однородных и неоднородных систем.
Условие совместности системы линейных уравнений (1) формулируется в теореме Кронекера-Капелли: система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .
Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов:
.
Если RgAA^* , то система уравнений несовместна.
Однородные системы линейных уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли всегда совместны. Рассмотрим случай однородной системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть т=п. Если определитель матрицы такой системы не равен нулю, т.е. , однородная система имеет единственное решение, которое является тривиальным (нулевым). Однородные системы имеют бесчисленное множество решений, если среди уравнений системы есть линейно зависимые, т.е. .
Пример. Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

и исследуем вопрос о количестве ее решений. Каждое из уравнений можно считать уравнением плоскости, проходящей через начало координат (D=0). Система уравнений имеет единственное решение, когда все три плоскости пересекаются в одной точке. При этом их нормальные векторы некомпланарны, и, следовательно, выполняется условие
.
Решение системы при этом x=0, y=0, z=0.
Если хотя бы две из трех плоскостей, например, первая и вторая, параллельны, т.е. , то определитель матрицы системы равен нулю, а система имеет бесчисленное множество решений. Причем решениями будут координаты x, y, z всех точек, лежащих на прямой

или
.
Если же все три плоскости совпадают, то система уравнений сведется к одному уравнению
,
а решением будут координаты всех точек, лежащих в этой плоскости.
При исследовании неоднородных систем линейных уравнений вопрос о совместности решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Если же число уравнений в такой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В противном случае система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.
Пример. Исследуем неоднородную систему двух уравнений с двумя неизвестными
.