Solving Trigonometric Equations She Loves Math

Solving Trig Problems:   \(\boldsymbol {\left[ {0,2\pi } \right)}\)

Solving Trigonometric Equations – General Solutions

Since trig functions go on and on in both directions of the \(x\)-axis, we’ll also have to know how to solve trig equations over the set of  real numbers; this is called finding

the general solutions for these equations.

We still use the Unit Circle to do this, but we have to think about adding and subtracting multiples of \(2\pi \) for the  sin, cos, csc, and  sec functions (since \(2\pi \) is the

period for them), and \(\pi \) for the tan and cot functions (since \(\pi \) is the period for them). We can do this by adding \(2\pi k\) or \(\pi k\) where \(k\) is any integer

(positive or negative).

Also note that a lot of times, when we get the solutions for  tan, they are  180° or \(\pi \)  radians apart, so one set of solutions will the same as the other, and we can

collapse into one solution and add \(\pi k\). This will sometimes happen if trig functions are squared in the problems also, since we’ll getting plusses and minuses.

Here are examples; find the general solution, or all real solutions) for the following equations. Note that \(k\) represents all integers \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\). Note

also that I’m using “fancy” notation; you may not be required to do this.

Also note that sometimes you’ll solve for \(x\) or another variable, sometimes for \(\theta \), depending on your book or teacher.

<

Note that we need to be careful about  domain restrictions with our answers. For  tan, cot, csc, and  sec, we have asymptotes, and if our answer happens to fall on an

asymptote, we have to eliminate it.