Sonli qatorlar

SONLI QATORLAR
1. Sonli qatorlarning yig’indisi va yaqinlashishi
2. Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari


1. Sonli qatorlarning yig’indisi va yaqinlashishi.
1-ta’rif. Haqiqiy yoki kompleks sonlar ketma-ketligi dan
hosil qililngan
(1)
ifodaga sonli qator (qator) deyiladi. Bunda, - qatorning hadlari,
- qatorning umumiy hadi deb ataladi.
2-ta’rif. (1) qatorning -qismiy yig’indisi deb, ushbu
(2)
songa aytiladi.
Qatorning yig’indisi va qatorning yaqinlashishi tushunchalari qismiy
yig’indilar ketma-ketligi
(3)
ya’ni ketma-ketlikka asoslangan holda ta’riflanadi.
3-ta’rif. Agar ketma-ketlik chekli limitga ega bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi deyiladi. Bu erda - qatorning yig’indisi
deb ataladi va

kabi yoziladi.
Agar ketma-ketlik chekli limitga ega bo’lmasa, u holda (1) qator
uzoqlashuvchi deyiladi.
Sonli qatorlar nazariyasi qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini aniqlash, agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa uning yig’indisini hisoblash bilan shug’ullanadi.
1-misol.
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Y e c h i s h. ekanini hisobga olsak,
.
Bundan
.
Demak, qator yaqinlashuvchi va .
2-misol.
qatorni (geometrik progressiyani) yaqinlashishga tekshiring.
Y e c h i s h. Ma’lumki,

Bundan bo’lganda

Demak, bo’lganda qator yaqinlashadi va uning yig’indisi
.
Agar bo’lsa, . Shu sababli, qator uzoqlashadi.
Agar bo’lsa va bo’ladi. Bu holda qator uzoqlashadi.
Agar bo’lsa . Demak, juft bo’lsa, va toq bo’lsa, bo’ladi, ya’ni limitga ega bo’lmaydi va qator uzoqlashadi.
Shunday qilib, bo’lganda qator yaqinlashadi va uning yig’indisi ga teng bo’ladi, bo’lganda qator uzoqlashadi.


2. Yaqinlashuvchi qatorning xossalari.
1-teorema. Agar va qatorlar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda, va ( -o’zgarmas son) qatorlar ham
yaqinlashuvchi bo’lib,

,
bo’ladi.
Isboti. va yaqinlashuvchi qatorlar bo’lib, ularning yig’indilari mos ravishda va bo’lsin. U holda

Shunday qilib, qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng.
Teoremaning qolgan qismi ham shu kabi isbotlanadi (isbotlar talabalar mistaqil ishlarida o’rganiladi).
2-teorema. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu qatorga chekli
sondagi hadlarni qo’shish yoki bu qatordan chekli sondagi hadlarni tashlab yuborish natijasida hosil bo’lgan qatorlar ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isboti. qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning dastlabki ta hadi
yig’indisi , tashlab yuborilgan ta hadi yig’indisi va qolgan ta hadlar yig’indisi bo’lsin.
U holda, . Bunda, yig’indi ga bog’liq emas. Shu sababli
. Bundan, mavjud bo’lishi kelib chiqadi. Demak, yaqinlashuvchi qatordan chekli sondagi hadlarni tashlab yuborish natijasida hosil bo’lgan qator ham yaqinlashuvchi.
Yaqinlashuvchi qatorga chekli sondagi hadlarni qo’shish natijasida hosil qilingan qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi ham shu kabi isbotlanadi.
4-ta’rif. Ushbu
(4)
qator (3.1) qatorning qoldig’i deyiladi.
2-teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda uning istalgan (4) qoldig’i ham yaqinlashuvchi bo’ladi va aksincha, (4) qoldiqning yaqinlashuvchi bo’lishidan
(1) qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
2-natija. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bo’ladi.
O’z-o’zini tekshirish uchun savollar
1. Sonli qator deb nimaga aytiladi?
2. Qatorning yig’ndisi va xususiy yig’indilari qanday aniqlanadi?
3. Yaqinlashuvchi qator deb nimaga aytiladi? Uzoqlashuvch qator deb-chi?
4. Yaqinlashuvchi qatorning xossalarini ayting.
5. Qatorning qoldig’i deb nimaga aytiladi?


MASHQLAR

Qatorlarning yaqinlashuvchi ekanligini isbot qiling va ularning yig’indisini toping:

1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
Javob: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)