Справочник Прямая, плоскость Ст а т ью п од г о т ов или

10.02.2022, 11:05

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения, уравнение прямой по двум точкам

Справочник
Прямая, плоскость
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Как работает сервис

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения


Содержание:

1. 
   Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости
   
2. 
   Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном
   

пространстве

Задайте нам вопрос, будем рады помочь

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат.

Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с

направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a, проходящей через две несовпадающие точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид
x−x₁
a_x
^y−y1 , задается

=
a_y

прямоугольная система координат Оху с прямой, которая пересекается с ней в точке с

a
координатами M₁(x₁, y₁) с направляющим вектором
^→ = (a_x, a_y).

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a, которая пройдет через две точки с координатами M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂).

Прямая а имеет направляющий вектор ^{−−−−→} с координатами

(x
^M1^M2 2
− x₁
, y₂
− y₁
), так как

пересекает точки М₁ и М₂. Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора

(
−−−−→

M₁M₂ = x₂
− x₁
, y₂
− y₁
) и координатами лежащих на них точках M₁
(x₁
, y₁) и

M₂(x₂, y₂). Получим уравнение вида

x−x₁
x₂−x₁ ⁼
y−y₁
y₂−y₁

или
x−x₂

x₂−x₁ ⁼
y−y_{2 .}
y₂−y₁

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂). Получим уравнение вида

x = x₁ + (x₂ − x₁) ⋅ λ

open

y = y₁ + (y₂ − y₁) ⋅ λ
_{или open} x = x₂ + (x₂ − x₁) ⋅ λ _.
y = y₂ + (y₂ − y₁) ⋅ λ

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M₁(1, 1)
и M₂(4, 2) в системе координат Оху.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая

проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида
.
x−1 4−1
y−1
⁼ 2−1
x−1
⇔ ₃
y−1
= ₁

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x−1 3
y−1
= ₁