Tarzda aniqlash uchun f dan foydalanishimiz mumkin

---

Eslatib o'tamiz, avtonom differensial tenglama ÿx = f(x) oddiygina f : D ÿ Rn funksiyasini Rn dagi D
sohasidan berish orqali beriladi . Faraz qilaylik, f [D, R] D da aniqlangan CC real qiymatli funksiyalar
fazosi bo'lsin. C k+1[D, R] dan C gacha bo'lgan Lf operatorini quyidagi
tarzda aniqlash uchun f dan foydalanishimiz mumkin.
1. Faraz qilaylik, f C bo‘lsin
k ÿ 1 uchun. C bo‘lsin
x ning ÿÿchegara to‘plami ÿ(x) va x ning aÿchegara to‘plami a(x) bilan belgilanadi. Bular D ning
yopiq to'plamlari ekanligini ko'rsatish oson. Ular bo'sh bo'lishi mumkin. Ba'zi t0 uchun barcha t > t0
uchun ph(t, x) mavjud bo'lgan holda ÿ(x) ni aniqlash mumkin . Xuddi shunday bayonot a(x) uchun
ham amal qiladi, agar t < t0 uchun ph(t) mavjud bo'lsa .
[D, R]
Faktlar:
ÿx = f(x) ko‘rinishdagi avtonom tizimni ko‘rib chiqaylik, uning yechimlari ochiq D to‘plamda hamma
vaqt uchun aniqlanadi. X ÿ D uchun x ning ÿÿchegara to‘plami, ÿ(x) bilan belgilangan. y nuqtalarini
shundayki, t1 < t2 < ketma-ketlik mavjud . . . ti ÿ +ÿ bilan i ÿ ÿ va ph(ti , x) ÿ y. Xuddi shunday, x ning
aÿchegara to‘plami t1 > t2 > ketma-ketligi mavjud bo‘lgan y nuqtalar to‘plamidir . . . ti ÿ ÿÿ bilan i ÿ ÿ
va ph(ti) ÿ y sifatida i ÿ ÿ.
D ÿ Rn va x ÿ D da vektor maydoni X ning ph(t, x) orbitasi t ÿ
0 bo‘lganda D ning ixcham F kichik to‘plamida qoladigan xususiyatga ega. U holda ÿ(x) ning
ixcham o‘zgarmas bog‘langan kichik to‘plamidir. F.
D dagi ÿx = f(x) differensial tenglama yoki f vektor maydoni uchun invariant to‘plam D ning ÿ
kichik to‘plami bo‘lib, agar x ÿ ÿ va ph(t, x) xÿ = f( ning yechimi bo‘lsa. x) ph(0) = x bilan, keyin barcha
t uchun ph(t, x) ÿ ÿ.
Biz f : D ÿ Rn funksiyani D da vektor maydoni deb ham aytamiz . Shunday qilib, D da vektor
maydonini berish D da avtonom differensial tenglama berilgan bilan bir xil.
2. Har qanday orbita o'zgarmas to'plamdir.
8-1
x ÿ D uchun ph(t, x) ÿx = f(x), ph(0, x) = x ning yechimi bo‘lsin. ps ÿ C k+1[D, R] uchun (Lfps)(x)
= dtps(ph(t, x)) |t=0 bo'lsin. Bu xaritalashni belgilaydi
f(x0) = 0 bo'lgan x0 nuqta muvozanat yoki statsionar nuqta yoki ÿx = f(x) kritik nuqta deb ataladi.
Limit to'plamlari
Differensial operatorlar sifatida vektor maydonlari
1
d
k
k
k
k
Machine Translated by Google

---

1. (chiziqlilik). L - chiziqli xaritalash; ya'ni, Lf (aps+bÿ) = aLf (ps) = bLf (ÿ) ixtiyoriy
ikkita ps, ÿ funktsiya va a, b skalerlar uchun.
ÿps (x)(pi ÿ f)(x). ÿxi
3. ps funktsiya ÿx = f(x) ning yechim egri chiziqlari bo'ylab o'zgarmas, agar va
2. (hosil qilish). ps uchun, ÿ ÿ C k+1[D, R],
Quyidagi ikkita xususiyatni qanoatlantiradigan [D, R].
Rn da i-koordinatasi 1 va Lf operatori uchun birlik vektor ei bo‘lsin .
Lf operatori Lie hosila operatori deyiladi. U C k+1 xaritasini tuzadi
2. Bu formuladan f vektor maydonining komponent funksiyalari Lf (pi) funksiyalariga
teng ekanligi kelib chiqadi . Haqiqatan ham, agar f(x) = (f1(x), f2(x), .., fn(x)) = (p1 ÿ f(x), .. ., pn
ÿ f(x)), u holda
f(x) = ei - har bir x dagi qiymati ei bo'lgan doimiy vektor maydoni .
Lf (ps · ÿ) = Lf (ps) · ÿ + psLf (ÿ).
(1)
8-2
funktsiyalari.
Shunday qilib, Lf operatori va f vektor maydoni bir-birini to'liq aniqlaydi va biz
vektor maydonlarini haqiqiy qiymatli funktsiyalardagi differentsial operatorlar yoki
D sohasining har bir nuqtasida vektorlarni tayinlash sifatida tasavvur qilishimiz
mumkin.
2006 yil 11 oktyabr
1. Lf (ps) funksiyaning qiymatini vektor maydoni va ps ning qisman hosilaviy
funksiyalari haqidagi bilimlardan formula bo‘yicha hisoblash mumkin.
faqat agar Lf (ps) D da nol funksiya bo‘lsa.
C k+1[D, R] dan C gacha
Faktlar.
k
k funksiyasi C
ga p i : x ÿ xi vektorning Rn dagi funksiya sifatida uning i-koordinatasiga
proyeksiyasi bo‘lsin .
i=1
ÿ boshqa koordinatalar 0. ÿxi yozish odatiy holdir
Lf (ps)(x) = Xn
Lf (pi) = fi .
Machine Translated by Google

---

vektor maydoni
ÿ
fi(x) ÿxi
.
f(x) = Xn
n
y))
xÿ = f(x) ga.
Shunday qilib, biz r yozishimiz mumkinmi? = Dr ÿ f ÿ r
Bu f : D ÿ Rn funksiya berilganligini bildiradi
x ÿ f(x), x ÿ D
operator
vektor qiymatli funksiyalar sifatida.
ps ÿ Lf (ps)
Teorema(Oqim qutisi teoremasi, yo'l-silindr teoremasi). K ÿ 1 boÿlsin. Faraz qilaylik,
f C f(x0) 6= 0. Keyin, Rn dagi 0 ga teng boÿlgan U qoÿshnidan x0 ga teng boÿlgan V
qoÿshniga r koordinatalarining C oÿzgarishi sodir boÿladiki, r ning yechimlarini olib
yuradi. doimiy vektor maydoni
8-3
biz uchta ob'ektdan birini olamiz: differensial tenglamalar tizimi
Ta'rif. Faraz qilaylik, f D ÿ Rn domenidagi vektor maydoni bo'lsin . r: D ÿ D0
koordinatalarining D dan D0 sohasiga silliq o'zgarishi bo'lsin. Keyin r f vektor maydonini
yangi r?f tomonidan aniqlangan vektor maydoniga moslashtiradi
D va x0 domenidagi vektor maydoni D dagi shunday nuqtadir
,
2006 yil 11 oktyabr
f(x) = (f1(x), ..., fn(x)) bilan
Shu ma'noda biz yozishimiz mumkin
,
xÿi = fi(x), i = 1, . . . ,
Biz ko'pincha f vektor maydoni va Lf operatori bilan ÿx = f(x) avtonom differentsial
tenglamani aniqlaymiz .
ÿ ÿx1
r?(f)(y) = Drÿ1y(f(r .)
ÿ1
i=1
k
ÿ1
Isbot. f(x0) 6= 0 bo'lgani uchun, f(x0) ni Rn da 0 boshiga biriktirilgan vektor sifatida ko'rib chiqishimiz va nolga
teng bo'lmagan v2, v3, birlik vektorlarini tanlashimiz mumkin . . . vn chiziqli mustaqil bo'lishi uchun . H˜ pastki fazo
vektorlari f(x0), v2, v3, bo'lsin . . . , i ÿ 2. Rn ning affin ostfazosi H = x0 + H˜ vi
vektorlar bilan qoplangan
k
Kritik bo'lmagan nuqta yaqinidagi avtonom differensial
tenglamalarning tuzilishi
Machine Translated by Google

---

r(y1, y) = ph(y1, ÿ(y)).
Nihoyat, biz r xaritalash f ning yechimlarini olib borishini ko'rsatishimiz kerak. ÿ
Isbot. K ixcham invariant to‘plam bo‘lsin. K ning bo'sh bo'lmagan ixcham o'zgarmas kichik
to'plamlarining C to'plami qisman A ÿ B qo'shilishi bilan qisman tartibga solinadi, agar A ÿ B bo'lsa.
Har bir to'liq tartiblangan kichik to'plam yuqori chegaraga ega, shuning uchun Zorn lemmasi
bo'yicha C maksimal elementni o'z ichiga oladi, aytaylik S . Keyin, S minimal to'plamdir. QED.
Ushbu o'zgartirish r koordinatalarning zaruriy o'zgarishi deb da'vo qilamiz.
,
vj (mashq) hisoblanadi . j s ni tanlash
bilan bu vektorlar chiziqli mustaqildir. Shunday qilib, talab qilinadigan yakobiy determinant
nolga teng emas.
Taklif. Har qanday ixcham o'zgarmas to'plam minimal to'plamni o'z ichiga oladi.
Endi, (y1, y) = 0 da, r ning yakobiy matritsasining birinchi ustuni f(x0), j-ustun esa faqat v.
Misol va izoh.
Birinchidan, r ning C ekanligini
e'tiborga oling. r koordinatalarning o'zgarishi ekanligini isbotlash uchun uning 0 dagi yakobian
determinanti nolga teng emasligini ko'rsatish va yashirin funksiya teoremasidan foydalanish kifoya.
8-4
oddiy funksiya (t,(y1, y)) ÿ (t + y1, y). Buni
r ga o‘zgartirsak (t,(y1, y)) ÿ r(t + y1, y) = ph(t+y1, ÿ(y)) funksiya hosil bo‘ladi. Lekin, avtonom
tizimlarning mahalliy oqim xossasini isbotlashda ko'rganimizdek, agar ph(t, z) yechim bo'lsa, ph(t +
s, z) ham shunday bo'ladi. Demak, t ÿ ph(t + y1, ÿ(y)) funksiya ÿx = f(x) tenglamaning yechimidir.
ochiq to'plamda aniqlangan vektor maydoni D ÿ Rn .
o'zgaruvchilarni xaritalash (y1, y).
2006 yil 11 oktyabr
uchun
r(y1, y) ning xaritalanishini belgilaymiz
Aytaylik, f C ta'rifi bo'lsin.
O‘zgarmas K to‘plam ixcham bo‘lsa, bo‘sh bo‘lmagan va variantli to‘plamdagi boshqa ixcham,
bo‘sh bo‘lmagan to‘plamni to‘g‘ri o‘z ichiga olmasa, minimal to‘plam deyiladi.
u holda f(x0) vektor maydoniga x0 da ko'ndalang bo'ladi . ÿx = f(x) yechimlarining boshlang‘ich
sharoitlarda lokal uzluksizligi va f ning uzluksizligi bo‘yicha H da x0 ning V1 qo‘shnisi va Rda I
oraliq taxminan 0 ga teng bo‘ladiki, agar x ÿ V1 bo‘lsa, ph( t, x) barcha I da aniqlangan va H ga
faqat t = 0 uchun javob beradi . Rnÿ1 da 0 ga yaqin (y2, . . . , yn) = y uchun biz bog‘langan ÿ(y) =
x0 + P nuqtaga egamiz. j yjvj ÿ H. Rn dagi (y1, y2, .. , yn) nuqta uchun ( y1, y) ni y ÿ Rn ÿ1 bilan
yozing .
0
ÿr
ÿyj
1
ÿ ÿx1
ÿx1 doimiy vektor maydonining yechimi
ÿr
ÿy1
k
Machine Translated by Google

---

m > 0 musbat butun son bo‘lsin va x ÿ ph 1 (x) ni ko‘rib chiqaylik. Bu yopiq to'p B ning uzluksiz
o'z-o'zidan xaritasi. Brouver sobit nuqta teoremasiga ko'ra, u sobit nuqtaga ega, deylik xm. B
ixcham bo'lganligi uchun xm ketma-ketligi yaqinlashuvchi xmk ketma-ketligiga ega, y nuqtaga
k ÿ ÿ ko'rinishida aytaylik.
avtonom vektor maydoni,
x ÿ B uchun ph(t, x) yechim aniqlanadi va barcha t > 0 uchun B da qoladi.
2. Ajablanarlisi shundaki, C uchun tekislikda boshqa
minimal to'plamlar mavjud emas.
ph 1
n > 2, ahamiyatsiz bo'lmagan minimal to'plamlarga ko'plab misollar mavjud. Biz
(*) z ÿ U uchun ph(t, z) yechim hamma t ÿ [ÿ , ] uchun aniqlangan.
buni keyinroq ko'ramiz.
f(y) = 0 ekanligini ko'rsatamiz. Agar yo'q bo'lsa, oqim qutisi teoremasi bo'yicha D da y ning
U qo'shnisi va Rda I = [ÿ , ] ga yaqin oraliq mavjud bo'lib, shundayki,
8-5
(**) ph(t1, z) 6= ph(t2, z) t1 uchun 6= t2 ÿ I
2006 yil 11 oktyabr
Isbot. ph(t, x) f ning mahalliy oqimi bo'lsin. f nolga teng emas va B chegarasiga tegmagan
bo'lgani uchun chegaradagi orbitalar B ga oqib chiqadi yoki undan chiqadi. Biz ular B ga oqadi
deb o'ylaymiz. Boshqa holatda f ni -f bilan almashtiring.
,
Ammo, agar k etarlicha katta bo'lsa, xmk ÿ U va < . Ammo keyin, (xmk ) 6= xmk tomonidan
(**) bu xmk ta'rifiga zid keladi . QED.
1. Kritik nuqta yoki davriy orbita minimal to'plamdir.
Taklif. Faraz qilaylik, f D ÿ Rn ochiq to‘plamdagi C vektor maydoni bo‘lsin va B ÿ D yopiq
bo‘sh bo‘lmagan to‘p mavjud bo‘lsinki, f nolga teng bo‘lmaydi va B chegarasida hech qanday
tangens bo‘lmaydi. Demak, f nuqtada kritik nuqtaga ega bo‘ladi. B.
1
1
3. Rn da
1
mk
m
m
Machine Translated by Google