To investigation of the mixed problem for systems of equations of compound type

Лемма 3: Из равенств (9) следуют равенства и .
Задача : Найти дважды непрерывно–дифференцируемое ограниченное по при решение системы (3) (r=0,1 и j=0,1) в области удовлетворяющее следующим начальным:
(10)
и краевым условиям:
| , | (11)
Равенства (10) при различных значениях дадут различные формулировки начальных условий . Например, для ( ) условия (10) принимают вид:
,
Далее, нетрудно заметить, что имеет место следующая:
Теорема 3. Необходимым и достаточным условием существования и единственности ограниченного по при решения задачи являются равенства (9).
Принимая во внимание равенства (9) получаем:
) в случае (А) (обозначим )
; ,
Следующие ряды обозначим через ( -А)

Аналогичные формулы получаются и для случая (В).
Через -обозначим класс функций обладающих производными -го порядка и кусочно-непрерывными производными -го порядка в области ( ) , причем производные четного порядка , cоответственно, равны нулю на .
Через обозначим класс пар функций и , таких, что , .
Условие 2. Функции , , а также выполнены условие и равенства (9).
Теорема 4. Пусть выполнены условия 2. Тогда функции и определяемые рядами (или имеют непрерывные производные до второго порядка включительно, удовлетворяют системе (3), начальным условиям (10) при r=1 , j=1 и краевым условиям (11) . При этом возможно почленное дифференцирование рядов (или ) по x и t два раза, и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно.