U-testi Mann-Whitney

U-testi Mann-Whitney (Mann-Whitney U testi) miqdoriy yoki tartibli shkalada o'lchangan belgi bo'yicha ikkita namuna o'rtasidagi farqlarni baholash uchun ishlatiladigan parametrik bo'lmagan statistik testdir . U-testi birinchi darajali , shuning uchun u o'lchov shkalasining har qanday monotonik o'zgarishiga nisbatan o'zgarmasdir.
Boshqa nomlar: Mann-Whitney-Wilcoxon (MWW), Wilcoxon rank-sum test yoki Wilcoxon-Mann-Whitney testi (WMW).
1-misol. Birinchi namuna - A preparati bilan davolangan bemorlar. Ikkinchi namuna - B preparati bilan davolangan bemorlar. Namunalardagi qiymatlar davolash samaradorligining ba'zi xususiyatlari (qondagi metabolitlar darajasi, harorat). davolash boshlanganidan uch kun o'tgach, tiklanish vaqti, yotoq kunlari soni va boshqalar) A va B dori vositalarining samaradorligida sezilarli farq bor-yo'qligini aniqlash talab qilinadi yoki farqlar sof tasodifiy va tushuntiriladi. tanlangan xarakteristikaning "tabiiy" o'zgarishi bilan.
2-misol. Birinchi namuna - A madaniy usul bilan ishlov berilgan dalalar. Ikkinchi namuna - B madaniy usul bilan ishlov berilgan dalalar. Namunalardagi qiymatlar hosildorlikdir. Usullardan biri ikkinchisidan samaraliroqmi yoki hosildagi farqlar tasodifiy omillarga bog'liqmi yoki yo'qligini aniqlash talab qilinadi.
3-misol. Birinchi namuna - supermarketda A turidagi aksiya o'tkazilgan kunlar (chegirma bilan qizil narx belgilari). Ikkinchi namuna - B turidagi reklama kunlari (har beshinchi paket bepul). Namunalardagi qiymatlar reklama samaradorligining ko'rsatkichidir (sotish hajmi yoki rubldagi daromad). Qaysi turdagi reklama samaraliroq ekanligini aniqlash kerak.
Kriteriya tavsifi
Ikkita namuna berilgan  .
Qo'shimcha taxminlar:

• 
  ikkala namuna ham oddiy , birlashtirilgan namuna mustaqil ;
  
• 
  namunalar noma'lum uzluksiz taqsimotlardan olinadi  va  mos ravishda.
  

Nol gipoteza  .
Statistik mezonlar:

1. 
   Birlashtirilgan namunaning umumiy variatsion qatorini tuzing va umumiy variatsion qatordagi ikkala namunadagi barcha elementlarning  darajalarini toping .
   
2. 
   Ikkala namunaning va Mann-Uitni statistikasining yig'indisini hisoblang  :
   

Yon eslatma: Mann-Whitney statistikasini hisoblashning kamroq oqilona usuli  :


Mezon ( ahamiyat darajasida  ):


Asimptotik Mann-Uitni mezonining kritik mintaqasi.

• 
  muqobilga qarshi
  

bo'lsa  , nol gipoteza rad etiladi;

• 
  muqobilga qarshi
  

bo'lsa  , nol gipoteza rad etiladi;

• 
  muqobilga qarshi
  

bo'lsa  , nol gipoteza rad etiladi;
qayerda  - parametrlari bilan Wilcoxon  - Mann-Whitney jadval taqsimotining kvantili  .
Asimptotik test : normallashtirilgan va markazlashtirilgan Mann-Uitni statistikasi

uchun asimptotik standart normal taqsimotga ega  .
U-kriteriyasini qo'llash xususiyatlari va chegaralari
Ba'zida U-testi bir xillikning nol gipotezasini  tekshiradi , ya'ni ikkita namuna bir xil taqsimotdan olingan deb noto'g'ri fikrda. U-testi umumiy muqobilga nisbatan haqiqiy emas  . Bu shuni anglatadiki, bir xillik gipotezasi haqiqatdan ko'ra tez-tez qabul qilinadi. Gipoteza to'g'ri bo'lgan holatlar mavjud  , ammo bir xillik haqidagi kuchli gipoteza  haqiqat emas [Orlov]. Bir hillikni tekshirish uchun kuchliroq mezonlar mavjud, xususan Smirnov testi yoki Lemann -Rozenblatt testi .
Ba'zida U-testi ikkita namunadagi teng medianlarning nol gipotezasini sinab ko'radi, deb noto'g'ri qabul qilinadi. Gipoteza to'g'ri bo'lgan taqsimotlar mavjud  , ammo ularning medianalari boshqacha.
U testidan siljish gipotezasini muqobil sifatida sinab ko'rish uchun foydalanish mumkin  , bu erda  nolga teng bo'lmagan doimiy. Ushbu muqobil bilan U-testi mos keladi . Agar bitta asbob bilan ma'lum bir jismoniy miqdorning ikkita qiymatini o'lchashning ikkita seriyasi amalga oshirilsa, undan foydalanish tavsiya etiladi. Bunday holda, taqsimlash funktsiyasi  bir qiymatning o'lchov xatolarini va  boshqasini tavsiflaydi. Biroq, ko'pgina ilovalarda (xususan, ekonometrikada) ikkinchi namunaning taqsimoti faqat siljiydi, lekin boshqa yo'l bilan o'zgarmaydi, deb taxmin qilish uchun hech qanday sabab yo'q.
U testi Student t testining parametrik bo'lmagan analogidir . Agar namunalar normal bo'lsa, siljish gipotezasini tekshirish uchun kuchliroq Student t-testini qo'llash afzaldir.