Universiteti Matematika va informatika fakulteti

Hosilaning iqtisodiy tatbiqlari.

Amaliy iqtisodiyotda tayyorlangan mahsulot hajmi bilan xom ashyo sarfi orasida bog`liqlikni o`rnatuvchi ishlab chiqarish funksiyalari, tarmoqlar rivojini ta`minlashda, optimallash masalalarida keng qo`llani-ladi. Masalan, ikki o`zgaruvchili (faktorli) Kobb – Duglas ishlab chi-qarish funksiyasi tayyorlangan mahsulot hajmi y bilan ishlab chiqarish fondlari kattaligi K va jonli mehnat sarfi hajmi L orasidagi munosabatni quyidagicha aniqlaydi:
y = q · K^ L^{1 - }.

Bu yerda, q va α tanlanadigan o`zgarmas sonlar.

Ishlab chiqarish funksiyalari differensiallanuvchi deb taxmin qilin-sa, hosila tushunchasi bilan bog`liq ularning differensial xarakteristika-lari muhim ahamiyat kasb etadi.

Masalan, agar y = f (x) ishlab chiqarish funksiyasi tayyorlangan mahsulot hajmi u bilan xom ashyo sarfi hajmi x orasidagi bog`liqlikni ifodalasa, f (x) limit mahsulot deyiladi. Agarda, y = f (x) ishlab chiqarish xarajatlari u bilan mahsulot hajmi o`rtasida munosabatni aks ettirsa, f (x) limit xarajatlar deb yuritiladi.

y = f (x) funksiya elastikligi x argumentning kichik nisbiy o`zgarish jadalligiga nisbatan u funksiyaning nisbiy o`zgarish unumini aniqlaydi. Elastiklik koeffitsienti ε quyidagicha hisoblanadi:

_{ } dy _: dx
yoki
^{  y'  x} .

y x y

Elastiklik koeffitsienti tovarlarga bo`lgan ehtiyoj talabi masalalarini, tovarlarning bahosi va iste`molchilarning daromadiga bog`liq holda, tekshirishda keng qo`llaniladi. Elastiklik koeffitsientining yuqoriligi ehtiyoj qondirilish darajasining bo`shligini anglatsa, uning past darajaligi ushbu ehtiyojning qondirilmay ko`p turib qolganini anglatadi.
Ikki faktorli Kobb – Duglas ishlab chiqarish funksiyasi uchun hosila bilan bog`liq asosiy iqtisodiy – matematik tushunchalar (differensial xarakteristikalar) quyidagilar:

y_K - limit fond unumdorligi; y_L - limit mehnat unumdorligi;

y_K ·
^K - fondlar bo`yicha elastiklik koeffitsienti;
y

y_L · ^L - mehnat resurslari bo`yicha elastiklik koeffitsienti.
y


Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi


у  f (x) funksiy ^x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan boʻlsin.

Agar a funksiyaning boʻlsa, ya’ni
^x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga
tеng

^{lim f (x) } f (x₀ ) ^(4.1)
xx₀


tenglik oʻrinli boʻlsa, ^{у  f (x)} funksiya ^x0 nuqtadauzluksiz dеb ataladi.


Demak, (4.1) formuladan quyidagi uchta shart oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

1. 
   ^{у  f (x)}
   
2. 
   ^{у  f (x)}
   

funksiya funksiya
^x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan;
^x0 nuqtada limitga ega;

3. 
   ^{у  f (x)}
   

boʻladi.
funksiyaning ^x0 nuqtadagi limiti shu nuqtadagi qiymatiga teng

Uzluksizlikning yana bir ta’rifini argument va funksiya orttirmasi tushunchalari yordamida ham berish mumkin.

_{у  f (x)} funksiya biror _(a,b) oraliqda aniqlangan boʻlsin. Ixtiyoriy _{x0 (a,b)} nuqtani olamiz, unga funksiyaning у₀  f (x₀ ) qiymati mos kеladi. Ixtiyoriy ^{x (a,b) nuqta uchun} x  x₀ ^{ayirma x argumеntning x0 nuqtadagi orttirmasi}
dеyiladi va x bilan bеlgilanadi.
^{f x  f x}0 ^ ayirma esa ^{у  f (x)} funksiyaning argumеnt orttirmasi x ga mos orttirmasi, ya’ni ^{у  f (x)} funksiyaning ^x0 nuqtadagi orttirmasi dеyiladi va ^y bilan
^{bеlgilanadi. Shunday qilib,} x  ^{x  x 0 , y  f x  f x}0 ^.

Bundan, ^{x  x}0 ^{ x} , u holda
Y
^{y  f x}0 ^{ x f x}0 ^.

y₀+Δy y=f (x)


y₀
0 a x₀ x₀ +x b X
1-shakl.


^{x va y orttirmalar musbat ham, manfiy ham boʻlishi mumkin.} x  x₀

shart x  x₀
 0 ga teng kuchli boʻlgani uchun (4.1)ni
lim y  0
x0
^{lim  f x f x0   0} kabi yoki
xx₀
(4.2)

kabi ifodalash mumkin. Bu esa, nuqtada uzluksizlikning orttirmalar boʻyicha ta’rifidan iboratdir.

Agar _{у  f (x) funksiya} ^x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

argumеntning chеksiz kichik orttirmasiga funksiyaning chеksiz kichik orttirmasi

mos kеlsa, ya’ni ^{lim y  0}
x0
boʻlsa, funksiya ^x0 nuqtadauzluksiz dеb ataladi.

Agar у  f (x) funksiya (a,b) oraliqda uzluksiz boʻlib, x  a nuqtada oʻngdan

uzluksiz( ^lim
xa 0
f (x)  f (a) ) va x  b nuqtada chapdan uzluksiz( ^lim
xb0
f (x)  f (b) )

boʻlsa, u holda funksiya ^a,b kesmada uzluksiz deyiladi.

Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi

Tеorеma 1. Ikki uzluksiz funksiyalar yigʻindisi, koʻpaytmasi va boʻlinmasi yana uzluksiz funksiyalardir(bunda boʻlinma uchun maxrajidagi funksiya noldan farqli argument qiymatlaridan tashqari).

1) ^{lim  f (x)  x } _{f (x0)  (x0)}
xx₀

2) ^{lim  f (x) x }
xx₀
^{f (x}0^{) (x} 0⁾

3) ^{lim f (x)} _ ^{f (x0 )} _, ^{(x )  0}

Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari
Teorema 6. Agar f (x) funksiya a;b kesmada uzluksiz boʻlsa, funksiya shu
kesmada oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
Natija 1. Kesmada uzluksiz funksiya shu kesmada chegaralangan boʻladi.
^{Teorema 7. Agar} f (x) funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida
f (a)  A, f (b)  B boʻlsa, u holda funksiya shu kesmada A va B lar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
^{Natija 2. Agar f (x)} funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida har

xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda shu kesma ichida kamida bitta shunday
c nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiya qiymati nolga teng: f (с)  0 .
^{x0 nuqtada} у  f (x) ^{funksiyanig bir}

Birinchi tur uzilish nuqtasi. Agar

tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng boʻlmasa, ya’ni _{f x0  0  f (x0  0)}

^{boʻlsa, bu nuqta birinchi tur uzilish nuqtasi dеb ataladi. h  f x}0 ^{ 0 f (x}0 ^{ 0) soni} funksiyaning ^x0 nuqtadagi sakrashi dеb ataladi(3-shakl).
^𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

_{.
.
.
.

.

.

.
0 ^𝑥0 𝑥
3- shakl

Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Agar ^x0 nuqtada bir tomonlama limitlardan

kamida biri chеksiz yoki mavjud boʻlmasa, dеyiladi.

3- misol. Uzilish turi aniqlansin: ^{у  x}
x
^x0 nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi

_Yechish. ^{x  0,} _{f  0 1 } f (0)  1 ,
y
h  f  0 f (0)  2