Уравнения Максвелла

СГС
СИ

С учётом тождества  , последнее уравнение Максвелла, записанное при помощи дифференциальных форм сразу приводит к уравнению непрерывности (закону сохранения заряда):

В такой форме уравнения Максвелла остаются справедливыми и на произвольном 4-мерном многообразии, например, в искривлённом пространстве-времени общей теории относительности. В этом случае, в соотношениях дополнительно появляется определитель метрического тензора  . Например, для тока и внешнего дифференцирования:

Общековариантная запись в компонентах
На произвольном 4-мерном многообразии, то есть в общем случае, включающем и пространство-время ненулевой кривизны (а также произвольных четырёхмерных координат, включая случаи неинерциальных систем отсчета) электродинамика может быть сформулирована и в обычных индексных обозначениях.
В основном рецепт перехода от случая нулевой кривизны пространства-времени и лоренцевых систем отсчета в нём, подробно описанного выше, к общему случаю состоит в замене обычных производных по координатам на ковариантные производные, учёт того, что метрика в этом случае не постоянна и не имеет специального лоренцева вида (то есть практически произвольна), а также при интегрировании — например, при записи действия — учёт того, что метрика входит в элемент объёма (через множитель  — корень из минус детерминанта метрики).
В общековариантном виде уравнения Максвелла имеют вид:


Здесь знак ":" означает ковариантную производную, подобно тому, как знак "," означает обычную производную:
,
где  - символ Кристоффеля второго типа.
Закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде следует из  . Умножая обе части на  и используя тождество  находим  .
Отсюда получаем закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде:
.

Спинорная формулировка

Уравнения Максвелла можно записать в спинорной форме:
,
,
где спинор второго ранга  определяется уравнением  ,  — четырёхмерный потенциал в форме спинора второго ранга,  — оператор четырёхмерного градиента в спинорной форме,  — плотность тока в спинорной форме.
Спектральное представление
В электродинамике большое значение имеют гармонические колебания. Такие поля можно представить в виде:


где  — частота колебаний поля. Обозначение «c. c.» означает комплексное сопряжение предыдущего слагаемого. В некоторых работах коэффициент 1/2 в соглашении о гармонических амплитудах не используется, что приводит к соответствующей модификации всех связанных с этим соглашением выражений. В литературе также часто встречается выбор обратного знака в комплексной экспоненте. Рассмотренный здесь вариант согласуется с принятым в квантовой теории в представлении.
Усреднённые за период плотности энергии электрического и магнитного поля равны, соответственно: