Ustida Vektorlar amallar. Vektorlarning koordinatalari

a±b=(х₁,у₁, z₁)±(х₂,у₂, z₂)= (х₁± х₂, y₁± y₂, z₁± z₂). (3)
Isbot: Vektorlarning (2) yoyilmasi va ularni o‘zaro qo‘shish, songa ko‘paytirish amallarining xossalariga asosan
a±b=(х₁,у₁, z₁)±(х₂,у₂, z₂)=(x₁ i +y₁ j+z₁ k)± (x₂ i +y₂ j+z₂ k)=
=(x₁± x₂)i+(y₁± y₂)j+(z₁± z₂)k
tenglikni olamiz va undan (3) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz.
Masalan, a=(4,–2,1) vа b=(5,9,0) vektorlar uchun
a+b=(4+5,–2+9,1+0)=(9,7,1) , a–b=(4–5,–2–9,1–0)=( –1, –11,1).
3-TЕORЕMA: Har qanday a=(х, у, z) vеktorning ixtiyoriy  songa ko‘paytmasining koordinatalari uning har bir koordinatasini  songa ko‘paytirishdan hosil bo‘ladi, ya’ni a=( х, у, z)= (х, у, z).
Teoremaning isbotini o‘quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etamiz. Masalan, a=(3, –4, 1) va λ=6 bo‘lsa, 6a=6(3, –4, 1)=(18, –24, 6) bo‘ladi.
Bu natijalardan foydalanib ushbu masalalarni yechamiz.
Masala № 1: Boshi A(x₁, y₁, z₁) va uchi B(x₂, y₂, z₂) nuqtada joylashgan vektorning koordinatalarini toping.
Yechish: Berilgan vektorning A boshi va B uchini koordinatalar boshi O bilan tutashtirib va vektorlarni hosil etamiz (16-rasmga qarang).

Bunda =(x₁, y₁, z₁), =(x₂, y₂, z₂) bo‘ladi va vektorlarning ayirmasi ta’rifi hamda 2-teoremaga asosan quyidagi natijani olamiz:
=(x, y, z)= – =(x₂, y₂, z₂)– (x₁, y₁, z₁)= (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) . (4)
Demak, vektorning koordinatalarini topish uchun uchining koordinatalaridan boshini koordinatalarini ayirish kerak. Masalan, boshi A(5,–4, 2) va uchi B(7, 1, 0)
nuqtalarda joylashgan vektorning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi:
x= x₂ – x₁=7–5=2, y=y₂ – y₁=1–(–4)=5, z=z₂ – z₁=0 –2= –2.
Masala № 2: Uchlari A(x₁, y₁, z₁) va B(x₂, y₂, z₂) nuqtalarda joylashgan AB kesmani berilgan λ (λ>0) nisbatda bo‘luvchi C(x₀, y₀, z₀) nuqtaning koordinatalarini toping.
Yechish: Oldingi masalaga asosan
=(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁), =(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
deb yozishimiz mumkin. Masala sharti, vektorni songa ko‘paytirish ta’rifi va 3-teoremaga asosan ushbu tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
| |=λ| | = λ
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)=λ(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)= (λ x₂ – λ x₀, λ y₂ – λ y₀, λ z₂ – λ z₀).
Bu yerdan, 1-teoremaga asosan, izlanayotgan x₀ koordinata ushbu tenglamadan topiladi:
.
Xuddi shunday tarzdagi mulohazalar orqali izlangan nuqtaning koordinatalari
(5)
formulalar bilan topilishini aniqlaymiz.
Masalan, uchlari A(2,–3, 1) va B(16, 11, 15) nuqtalarda joylashgan AB kesmani λ=2:5 nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalari (5) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:

Xususiy, λ=1 bo‘lgan, holda AB kesmaning o‘rta nuqtasi koordinatalari uchun ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
. (6)
Masalan, uchlari A(4,–1, 5) va B(2, 11, –13) nuqtalarda joylashgan AB kesmaning o‘rta nuqtasining koordinatalari (6) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:
x₀=(4+2)/2=3, y₀=(–1+11)/2=5, z₀=(5+(–13))/2=–4 .


XULOSA

Amaliyotdan kelib chiqqan holda matematikada skalyar va vektor tushunchalari kiritiladi. Bunda skalyar faqat son qiymati bilan, vektor esa ham sonli qiymati, ham yo‘nalishi bilan aniqlanadi. Vektorlar ustida ularni songa ko‘paytirish, o‘zaro qo‘shish va ayirish amallari kiritilib, vektorlar algebrasi hosil qilinadi. Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar o‘zlarining koordinatalari bilan ifodalanadi. Koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida amallar ularning koordinatalari orqali oson amalga oshiriladi. Vektorlar algebrasi yordamida bir qator matematik masalalar oson hal etiladi.

Tayanch iboralar

Skalyar * Vektor * Vektorning moduli * Vektorning geometrik talqini * Vektorning boshi * Vektorning uchi * Nol vektor * Kollinear vektorlar * Vektorlarning tengligi * Komplanar vektorlar*Vektorni songa ko‘paytmasi * Qarama-qarshi vektorlar* Vektorlarni qo‘shish * Parallelogramm qoidasi * Uchburchak qoidasi*Ko‘pburchak qoidasi *Parallelepiped qoidasi * Vektorlarni ayirish * Ort vektorlar*Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi *Vektorning yoyilmasi * Vektorning koordinatlari

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Qanday kattaliklar skalyarlar dеyiladi?
   
2. 
   Skalyarlarga qanday misollar bilasiz?
   
3. 
   Qanday kattaliklar vеktorlar dеb ataladi?
   
4. 
   Vеktorlarga qanday misollar bilasiz?
   
5. 
   Vеktorlarning gеomеtrik ma’nosi nimadan iborat?
   
6. 
   Vеktorning moduli dеb nimaga aytiladi?
   
7. 
   Qanday vеktor nol vеktor dеyiladi?
   
8. 
   Qanday vеktorlar kollinеar dеyiladi?
   
9. 
   Qachon vеktorlar tеng dеb hisoblanadi?
   
10. 
    Vеktorni songa ko‘paytmasi qanday aniqlanadi?
    
11. 
    Vеktorni songa ko‘paytmasi qanday xossalarga ega?
    
12. 
    Vеktorlar yig‘indisi qanday aniqlanadi?
    
13. 
    Vеktorlar yig‘indisi qanday xossalarga ega?
    
14. 
    Ort vеktorlar dеb qanday vеktorlarga tushuniladi?
    
15. 
    Vеktorning ortlar bo‘yicha yoyilmasi qanday aniqlanadi?
    
16. 
    Vеktorning koordinatalari qanday topiladi?
    
17. 
    Koordinatalari bilan bеrilgan vеktorlarning tеnglik sharti nimadan iborat?
    
18. 
    Koordinatalari bilan bеrilgan vеktorlar ustida arifmetik amallar qanday bajariladi?
    
19. 
    Vektorning koordinatalari uning boshi va uchi bo‘yicha qanday topiladi?
    
20. 
    Kesmani berilgan nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalari qanday topiladi?
    
21. 
    Kesma o‘rta nuqtasining koordinatalari qanday topiladi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Skalyar deb nimaga aytiladi?
   

A) Faqat yo‘nalishi bilan aniqlanadigan kattalikka skalyar deb aytiladi.
B) Faqat son qiymati bilan aniqlanadigan kattalikka skalyar deb aytiladi.
C) Ham son qiymati, ham yo‘nalishi bilan aniqlanadigan kattalikka skalyar deb aytiladi.
D) Yo‘nalgan kesmaga skalyar deb aytiladi.
E) Har qanday kattalik skalyar deyiladi.

2. 
   Vektor kattalik deb nimaga aytiladi?
   

A) Faqat yo‘nalishi bilan aniqlanadigan kattalikka vektor deb aytiladi.
B) Faqat son qiymati bilan aniqlanadigan kattalikka vektor deb aytiladi.
C) Ham son qiymati, ham yo‘nalishi bilan aniqlanadigan kattalikka vektor deb aytiladi.
D) Har qanday kesmaga vektor deb aytiladi.
E) Har qanday kattalik vektor deyiladi.

3. 
   Quyidagi kattaliiklardan qaysi biri vektor bo‘ladi ?
   

A) sirt yuzasi; B) jism hajmi; C) kesma uzunligi;
D) kuch; E) Birorta ham kattalik vektor bo‘lmaydi.

4. 
   Qachon vektorlar kollinear deb aytiladi ?
   

A) Bir xil yo‘nalgan vektorlar kollinear deb aytiladi.
B) Har qanday a va b vektorlar kollinear vektorlar deb aytiladi.
C) Bir xil yo‘nalgan va uzunliklari teng bo‘lgan vektorlar kollinear deb aytiladi.
D) Bitta to‘g‘ri chiziqda yoki parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi a va b vektorlarga kollinear vektor deb aytiladi.
E) Bitta tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotuvchi a va b vektorlarga kollinear vektor deb aytiladi.

5. 
   Qachon vektorlar teng deb aytiladi ?
   

A) Bir xil yo‘nalgan vektorlar teng deb aytiladi.
B) Bir xil uzunlikli a va b vektorlarga teng vektorlar deb aytiladi.
C) Bir xil yo‘nalgan va uzunliklari teng bo‘lgan vektorlar teng deb aytiladi.
D) a va b vektorlar kollinear, bir xil yo‘nalgan va uzunliklari teng bo‘lsa, ular teng vektorlar deb aytiladi.
E) Kollinear va bir xil yo‘nalgan vektorlar teng deb aytiladi.

6. 
   Ta’rifni to‘ldiring: Uchta vektor komplanar deyiladi, agar ular ∙∙∙ joylashgan bo‘lsa.
   

A) bitta to‘g‘ri chiziqda ; B) bitta tekislik yoki parallel tekisliklarda ;
C) parallel to‘g‘ri chiziqlarda ; D) o‘zaro perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlarda ;
E) o‘zaro perpendikulyar tekisliklarda.

7. 
   Fazodagi ort vektorlar qanday aniqlanadi?
   

A) OX, OY, OZ koordinata o‘qlarida joylashgan, musbat yo‘nalishda ega va uzunliklari birga teng bo‘lgan vektorlar;
B) Uzunliklari birga teng bo‘lgan uchta vektor;
C) O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan uchta vektor;
D) O‘zaro kollinear bo‘lgan uchta birlik vektor;
E) Uchta komplanar birlik vektorlar.

8.