|
Natija. Soyalar chiziqlari va yassi kesimlar qo’shma to’r tashkil qiladi (Kyonigs).
Misol tariqasida ko’chirma sirtlarni olaylik.
Biror chiziq fazoda o’z-o’ziga parallel harakat qila borganda, uning har bir nuqtasi tayin bir vektor (“ko’chirish vektori”) yo’nalishida harakat qilib, shu vektor uzunligiga teng masofani o’tsa, bu chiziqning hosil qilgan sirti ko’chirma sirt deyiladi.
Ko’chirish vektorini bilan belgilasak, bu vektorni L chiziq nuqtalarida biror υ o’zgaruvchining funksiyasi deb qarash mumkin. Ko’chirma sirt tenglamasini ushbu
(6)
Ko’rinishda yoza olamiz. (6) tenglamaga va funksiyalar simmetrik ravishda kiradi: bu shuni bildiradiki, qaralayotgan ko’chirma sirtni ikki usul bilan, ya’ni yo chiziqni chiziq bo’ylab yoki, aksincha, chiziqni chiziq bo’ylab parallel ko’chirish yo’li bilan hosil qilish mumkin.
va chiziqlar sirtda qo’shma to’rni tuzadi, chunki (yoki) ning urinmalari parallel harakat qilib, silindrik sirt – tors tashkil etadi.
Elliptik paraboloid - ko’chirma sirtdir. Tenglamasi dan iborat parabolaning uchi parabola bo’yicha siljib borsa, elliptik paraboloid hosil bo’ladi (3-chizma).
3-chizma.
Xuddi shuning singari giperbolik paraboloid ham ko’chirma sirtdir: parabola o’zining uchi bilan parabola bo’ylab parallel harakat qilsa, giperbolik paraboloid hosil qilinadi (3-chizma). Ikkala paraboloid uchun ham harakatdagi parabola bilan harakatsiz parabola tekisliklari o’zaro tikdir.
ASIMPTOTIK CHIZIQLAR
Ta’rif. Har br nuqtasidagi urinmasi sirtning shu nuqtadagi asimptotik yo’nalishi bo’yicha yo’nalgan chiziq sirtning asimtotik asimptotik chizig’i deyiladi.
Asimptotik yo’nalishdagi chiziqning normal egriligi nolga teng: ; demak, asimptotik chiziqning ham hamma nuqtalarida normal egriligi nolga teng.
yo’nalishdagi normal kesimning eegriligi ikkinchi kvadratik formaning birinchi kvadratik formaga bo’lgan nisbatiga teng, shu sababli, asimptotik chiziqlarning differensial tenglamasi ushbudan iborat:
(1)
Bundan shartda:
(2)
Sirtning elliptik nuqtalarida , demak, sirtning bu nuqtalardan iborat sohasida asimptotik chiziqlar yo’q. Giperbolik nuqtalarda shu sababli, (2) tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi bor:
Bu ikki differensial tenglama asimptotik chiziqlarning ikkita oilasini aniqlaydi, ular sirt ustida (to’g’riroq aytganda, giperbolik sohada) asimptotik to’rni tashkil qiladi.
Parabolik nuqtalarda demak, (2) tenglamaning karrali bitta haqiqiy ildizi bor: Bu holda asimtotik urinmalar ustma-ust tushadi. Bu tenglama asimptotik chiziqlarning bitta oilasini aniqlaydi. Parabolik nuqtada asimptotik urinma shu nuqtadagi bosh yo’nalishlarning biri bo’ylab ketadi.
Parabolik nuqtalardagi asimptotik chiziqlar shu nuqtalardan o’tuvchi chiziqlarning istalgan oilasi bilan qo’shma to’r tashkil qiladi.
Sirtning urinma tekisligidan chetlanishi
edi, demak, asimptotik chiziq bo’ylab sirtning urinma tekisligidan chetlanishi va ga nisbatan kamida uchinchi tartibli cheksiz kichikdir (odatda, tartib 2 ga teng), chunki asimptotik chiziq bo’ylab .
Bundan tashqari, berilgan nuqtadagi asimptotik nuqtalar shu nuqtadagi urinma tekislikning sirt bilan kesishgan chizig’i uchun ikki karrali nuqta xizmatini o’taydi; demak, asimptotik urinmalar sirtni to’rt sohaga bo’ladi, ularning ikkitasi urinma tekislikdan “yuqorida” yotsa, ikkitasi “pastda” yotadi.
Giperbolik nuqtalar sohasida asimptotik chiziqlarni koordinat chiziqlari sifatida olish mumkin, u holda (1) tenglamani va qiymatlar qanoatlantirishi kerak, bu esa quyidagiga olib keladi:
(3)
Aksincha, (3) shart bajarilsa, koordinat chiziqlarning yo’nalishi asimptotikdir. Bunday sistemada ikkinchi kvadratik forma soddalashadi:
Misol tariqasida aylanma sirtning asimptotik chiziqlarini topaylik. Profil chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsin. Bu holda chiziqning tenglamasi
yoki
.
ya’ni giperbolik sohada asimptotik chiziqlar haqiqiydir. Ulardan birini shu sohada C burchakka bursak, u asimptotiklik xarakterini yo’qotmaydi.
Asimptotik chiziqlarning urinmalari asimptotik yo’nalishli bo’lgani sababli, bu urinmalar parabolic chiziq bilan kesishganda birinchi tipli qaytish nuqtalarini beradi.
Meridianning egilish nuqtasidan hosil qilingan parabolic nuqtalarda bo’lib, norma kesim, ya’ni meridianning o’zi asimptotik yo’nalishga egadir. Shuning uchun asimptotik chiziqlar shu parabolik chiziq nuqtalarida meridianlarga urinib, elliptik sohaga o’tmasdan yana “orqaga” qaytadi (bir oila chiziqlari ikkinchi oila chiziqlarining davomini tashkil etadi).
, bundan qiymatda ya’ni umumiy nuqtada shu parabolik chiziq bilan asimptotik chiziqning ham urinmasi OZ ga tik. Xullas, ikkala parabolik chiziq nuqtalarida asimptotik chiziqlar asimptotik yo’nalishdagi urinmalarga (tegishli meridian va parallellarga) urinadi.
Katenoid aylanma sirtdir. Uning uchun Asimptotik chiziqning differensial tenglamasi bo’lib, bunda ikki oila hosil qilamiz: va . Bizda va - burchakdir.
Katenoidning asimptotik chiziqlari vint vint chiziq singari unga o’raladi., chunki masofa burchakka proporsional ravishda o’zgaradi.
Psevdosfera
ham aylanma sirtdir.
Ikkinchi kvadratik formaning koeffitsiyentlari
Bo’lib, asimptotik chiziq tenglamasi
ko’rinishga ega. Oxirgi ikki tenglamadan birini tekshirsak bas. Birinchisini integ-rallasak:
(4)
hosil bo’ladi.
Asimptotik chiziqdagi nuqtaning kengligi bilan meridiandagi M nuqtaga mos burchak orasidagi bu bog’lanishning geometric ma’nosini oydinlashtirish maqsadida, OT kesmani topamiz (4-chizma).
Traktrisa tenglamalaridan:
va chizmadan:
demak,
(5)
(4) va (5) dan esa:
Shunday qilib, meridian yotgan tekislik bilan boshlang’ich meridian tekisligi orasidagi burchak OT kesmaga proporsionaldir. Lekin OT kesma doimo o’sib borganligi sababli asimptotik chiziq sirt atrofida ko’p marta o’rala boradi va A nuqtada traktrisaning urinmasi OZ o’qqa tik bo’lgani uchun A ga mos kelgan parabolik chiziq traktrisaning UV qirrasini beradi, shuningdek asimptotik chiziq u bilan kesishgan nuqtasida unga urinadi (4-chizma).
4-chizma
Birinchi oilaga qarashli asimptotik chiziqlardan biri topilgandan keyin ularning qolganlari shu chiziqni OZ o’q atrofida aylantirish natijasida hosil qilinadi. Ikkinchi oila birinchiga simmetrikdir.
Do'stlaringiz bilan baham: |
