Viii bob. Integral hisob

Izoh: Berilgan f(x) uchun qaysi shartda F(x) boshlang‘ich funksiya , demak aniqmas integral, mavjud bo‘lish masalasi kelgusida, §6 da qaraladi.
Yuqorida topilgan boshlang‘ich funksiyalar bo‘yicha quyidagi aniqmas integrallarni yozish mumkin:
, , .
Aniqmas integral ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan ko‘rinadiki, aniqmas integral y=F(x)+C(C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar sinfini ifodalaydi. Shu sababli, geometrik nuqtai-nazardan, aniqmas integral y=F(x) funksiya grafigini OY koordinata o‘qi bo‘ylab parallel ko‘chirishdan (VII bob,§3) hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfidan iborat bo‘ladi (69-rasmga qarang).

69-rasm

2. 
   Aniqmas integral xossalari. Aniqmas integral ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
   

I. Aniqmas integral hosilasi integral ostidagi funksiyaga tеng, ya’ni

Isbot: Aniqmas integral va boshlang‘ich funksiya ta’rifini ifodalovchi (2) va (1) tengliklarga asosan
.
II. Aniqmas integral diffеrеntsiali integral ostidagi ifodaga tеng, ya’ni
.
Isbot: Differensial ta’rifi va oldingi xossaga asosan
.
Izoh: Bu yerdan diffеrеntsiallash amali integrallash amaliga teskari amal ekanligini ko‘ramiz.
III. Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy C o‘zgarmasning yig‘indisiga tеng, ya’ni
.
Isbot: Agar F′(x)=f(x) deb belgilasak, unda F(x) hosil qilingan f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Unda, aniqmas integral ta’rifiga asosan,
.
IV. Biror funksiyaning diffеrеntsialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan o‘zgarmas yig‘indisiga tеng, ya’ni
.