Amaliy mashg’ulot (2 soat) Mavzu

Tartib munosabati. Endi tartib munosabatini qaraymiz.

«Tartib» so‘zi kundalik hayotimizda doimo uchraydi. Masalan, jismoniy tarbiya darslarida talabalarning bo‘y-bo‘yiga qarab joy­lashishi tartibi, o‘zbek alfavitida harflarning kelish tartibi va hoka­zo.

23-ta’rif. Agar X to‘plamdagi R munosabat tranzitiv bo‘lsa va simmetrik bo‘lmasa, u holda bu munosabat tartib munosabati deyi­ladi. X to‘plam esa tartib munosabati bilan tartiblangan deb ataladi.

Masalan, X={3,6,9,18} to‘plamni «kichik» munosabati yorda­mi­da tartiblash mumkin. Boshlang‘ich ta’limning birinchi sinfi­da o‘quvchilar «katta» va «kichik» munosabatlari bilan keyin­chalik esa kesmalar uchun «uzun» va «qisqa» munosabatlari bilan tanisha­dilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar va kesmalar to‘plamida tar­tib o‘rnatiladi.

Tartib munosabati qat’iy va noqat’iy tartib munosabatiga bo‘li­nadi va bu bo‘linish munosabatning asimmetrik yoki antisimmetrik bo‘lishi bilan bog‘liq. «Katta» va «kichik» munosabatlari qat’iy tartib munosabati bo‘lsa, «katta emas» va «karrali» munosabatlari noqat’iy tartib munosabati hisoblanadi.

Teorema. R-S to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati, [s] va [s′] ekvivalentlik sinflari bo‘lsin. U holda yoki [s]=[s′], bu yerda sRs′, yoki [s]∩[s′] = ∅, qachonki s R s′.

Isbot. Faraz qilaylik, [s]∩[s′]≠∅ bo‘lsin, aytish mumkinki, shunday t element topiladiki, t∈[s]∩[s′] bo‘ladi. Shuning uchun sRt va s′Rt o‘rinli ekanligidan, simmetriklik asosida sRt va tRs′ o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Tranzitivlikdan foydalanib ko‘ramizki, sRs′s va s′ ning ekvivalentligini yoki S dagi aynan bitta element ekanini bildiradi. Bundan [s]=[s′] ekanligi kelib chiqadi. Yagona boshqa imkoniyat [s]∩[s’]=∅dan iborat bo‘lib, bu holda sRs′ ekanligi o‘z-o‘zidan ma`lum bo‘ladi.

Yuqorida amalga oshirilgan isbot natijasida shuni ko‘ramizki, S to‘plamdagi R munosabatning ekvivalentligi to‘plamni kesishmay­digan ekvivalentlik sinflariga ajratar ekan.