Funksiyaning hosilasi va differensiali

2⁰. Funksiya differensiali va uning geometrik ma’nosi. f (x) funksiya xa,b nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin:
y  Ax  ox
bunda A f (x) bo’ladi. Bu tenglikda funksiya orttirmasi y ikki qo’shiluvchi: argument orttirmasi x ga nisbatan chiziqli Ax hamda x ga nisbatan yuqori tartibli x 0 cheksiz kichik miqdorlar yig’indisidan iborat ekani ko’rinadi.
4−ta’rif. f (x) funksiya orttirmasi y ning x ga nisbatan chiziqli bosh qismi Ax  f x x berilgan f (x) funksiyaninng x nuqtadagi differensiali deb ataladi. Funksiyaning differensiali dy yoki df (x) kabi belgilanadi: dy  df (x)  Ax  f (x)x. Endi xa,b nuqtada differensiallanuvchi bo’lgan f (x) funksiyaninng grafigi 31-chizmada ko’rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
Bu chiziqning x, f (x), x  x, f x  x nuqtalarini mos ravishda F va B bilan belgilaylik. Unda FC  x, BC  y bo’ladi. f (x) funksiya xa,b nuqtada differensiallanuvchi yani x nuqtada chekli f (x) hosilaga ega. Demak , f (x) funksiya grafigiga uning Fx, f (x) nuqtasida o’tkazilgan FL urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffitsienti tg f (x).
Shu FL urinmaning BC bilan kesishgan nuqtasini D bilan belgilaylik.
DC
Ravshanki, FDC dan  tg va undan DC tg FC  f (x)x ekani FC
kelib chiqadi.
Demak, f (x) funksiyani x nuqtadagi differensiali dy  f (x)x funksiya grafigiga Fx, f (x) nuqtada o’tkazilgan urinma orttirmasi DC ni DC  dy ifodalaydi. Xususan, f (x)  x bo’lganda bu funksiyaning differensiali
dy  f (x)x  x bo’lib,
dy  dx  x
bo’ladi. Bu hol f (x) funksiyaning x nuqtadagi differensialini quyidagi dy  f (x)dx  ydx (6.14) ko’rinishda ifodalash mumkin ekanini anglatadi.
Endi funksiya differensialining (6.14) ifodasidan foydalanib, elementar funksiyalarning differensiallari jadvalini keltiramiz:

1. 
   d(x^)   x^1dx x  0;
   
2. 
   d(a^x)  a^x lgadx a  0, a 1;
   

1

3. 
   d(log_a x)  log_a e dx; x
   
4. 
   d(sin x)  cos xdx;
   
5. 
   d(cos x)  sin xdx;
   
6. 
   d(tgx)  dx 
   

cos1₂ ^x  ^2  k, k  0, 1,^;
x _{ }
1

7. 
   d(ctgx)   sin₂ dx x  k, k  0, 1, ; x
   
8. 
   d(arcsin x)  dx -1 x 1;
   
9. 
   d(arccos x)   dx 1 x 1;
   
10. 
    d(arctgx)  dx;
    
11. 
    d(arcctgx)   dx;
    
12. 
    d(shx)  chxdx;
    
13. 
    d(chx)  shxdx;
    

1

14. 
    d(thx)  ch₂x dx;
    

1

15. 
    d(cthx)   sh₂x dx.
    

3⁰. Differensiallashning sodda qoidalari. Murakkab funksiyaning differensiali. f (x) va g(x) funksiyalar a,b intervalda aniqlangan bo’lib, xa,b nuqtada ularning differensiallari df (x), dg(x) f (x)
mavjud bo’lsin. U holda f (x)  g(x), f (x) g(x), va g(x)  0
g(x) funksiyalarning ham shu xa,b nuqtada differensiallari mavjud va ular uchun quyidagi df x gx df x dgx,
df (x)  g(x) f (x)dg(x)  g(x)df (x),

d_ gf ((xx))_  g(x)df (xg)2(xf)(x)dg(x) , g(x)  0
formulalar o’rinli bo’ladi.
Bu tasdiqlarning isboti funksiya differensialining (6.14) ko’rinishda ifodalanishidan va funksiyaning hosilalarini topish qoidalaridan kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, u  f (x) funksiya a,b intervalda, y  F(u) funksiya esa
c,d intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar yordamida murakkab y  F( f (x)) (x) funksiya tuzilgan bo’lsin.
Murakkab funksiyaning hosilasi uchun topilgan(6.5) formuladan foydalanib, shu murakkab funksiyaning differensialini topamiz:
d (x)  d(F( f (x)))  (F( f (x))dx  F(u) f (x)dx  F(u)du.
Shuni ta’kidlash lozimki, bu holda du miqdor argument u ning erkli orttirmasi emas, balki x o’zgaruvchining funksiyasidir.
4⁰. Funksiya differensiyali va taqribiy formulalar. Nazariy va amaliy masalalarni yechishda tegishli formulalarning nuqtadagi qiymatlarini hisoblash zarurati tug’iladi. Ko’pincha bunday funksiyalar murakkab bo’lib, ularning nuqtadagi qiymatlarini topish ancha qiyin bo’ladi. Bu hol funksiyaning nuqtadagi qiymatini taqribiy hisoblash (ularni hisoblash uchun taqribiy formulalar topish) masalasini yuzaga keltiradi. Funksiyaning differen-siali esa taqribiy formulalarni topish imkonini beradi .
f (x) funksiya a,b intervalda aniqlangan bo’lib, x₀ a,b nuqtada chekli f (x₀ )  0 hosilaga ega bo’lsin. Bu holda funksiya orttirmasini ushbu
y  f (x₀ )x  o(x)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu formulani hamda funksiya differensiali uchun dy  f (x₀ ) x formulani etiborga olib topamiz:

lim^x⁰ dyy  lim^x⁰ f (xf0)(xx)  ox(x)  lim 1 f (1x0)  o(xx) 1.
0   x 0
Shunday qilib, y ~dy . Natijada quyidagi
y  dy ya’ni
f (x₀  x)  f (x₀ )  f (x₀ ) x (6.15)
taqribiy tenglikka kelamiz. Ravshanki, y  dy  o(x). Shuning uchun x 0 da (6.15) taqribiy tenglikning nisbiy hatosi nolga intiladi, ya’ni
y  dy  0.
x
(6.15) formula x₀ a,b nuqtada differensiallanuvchi f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi orttirmasi y ni uning shu nuqtadagi differensiali dy bilan
almashtirish mumkinligini ko’rsatadi. Bu almashtirishning qulayligi, funksiya orttirmasi y argument orttirmasi x ning umuman aytganda, murakkab funksiyasi bo’lgan holda, funksiya differensiali dy esa x ning chiziqli funksiyasi bo’lishidadir. Agar x  x  x₀ ekanini etiborga olsak, unda x₀  x  x bo’lib, (6.15) formula quyidagi f (x)  f (x₀ )  f (x₀ )(x  x₀ ) (6.16)
ko’rinishga keladi. Bunda x₀ a,b nuqta xa,b nuqtadan katta farq qilmaydigan , ammo f (x₀ ) qulayroq hisoblanadigan nuqtadir.
Masalan, f (x) sin x bo’lib, sin 29⁰ ni hisoblash talab etilgan bo’lsin. Bu holda x₀  30⁰ deyish qulay. (6.16) formulaga ko’ra

sin29⁰  sin30⁰  cos30⁰ (29⁰ 30⁰)  0,5 ³  ^2  0,4848
2 360
bunda radian olchovida yozish zarur, chunki boshqa hadlar radianlarda berilgan. Demak, sin29⁰  0,4848 (10 ^4 aniqlikda ). Yuqoridagi (6.16) formula x₀  0 bo’lganda ushbu
f (x)  f (0)  f (0) x

ko’rinishni oladi. Bu formula 1 x ^, 1 x, e^x, ln(1 x), sin x, tgx funksiya-lar uchun quyidagicha bo’ladi:

(1 x)^ 1 x, 1 x 1 x,
e ^x 1 x,
ln(1 x)  x, tgx  x.
5−§. Yuqori tartibli hosila va differensiallar
1⁰. Funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari. f (x) funksiya a,b intervalda aniqlangan bo’lib, uning har bir x nuqtasida f (x) hosilaga ega bo’lsin. Ravshanki, f (x) hosila ham x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Bu f (x) hosila ham o’z navbatida biror x₀ a,b da hosilaga ega bo’lishi mumkin.
5–ta’rif. Agar f (x) funksiya a,b intervalning har bir xa,b nuqta-sida f (x) hosilaga ega bo’lib, bu f (x) funksiya x₀ a,b nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deb ataladi. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi d ² y

y_x_x0 , f (x₀ ) , dx₂ xx0 belgilarning biri orqali yoziladi.
f (x) funksiyaning uchinchi, to’rtinchi va h.k tartibdagi hosilalari
xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi. Umuman, f (x) funksiya a,b intervalning har bir xa,b nuqtasida n 1- tartibli f ^n1(x) hosilaga ega bo’lsin. Bu f ^n1(x) funksiyaning x₀ a,b nuqtadagi hosilasi ( agar u mavjud bo’lsa) f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi ntartibli hosilasi deb

^n_^ ₀ , f ^nx₀ , ddxⁿ_ny xx0 larning biri orqali belgilanadi. Odatda f (x) ataladi va y_{x x}
funksiyaning f (x), f (x), hosilalari uning yuqori tartibli hosilalari deyiladi.
Shunday qilib, f (x) funksiyaning xa,b da ntartibli hosilasining mavjudligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida 1, 2, , n1- tartibli hosila-lari mavjudligini taqozo etadi. Ammo bu hosilalarning mavjutligidan ntartibli hosila mavjudligi, umuman aytganda, kelib chiqavermaydi.

x x

Masalan, y  funksiyaning hosilasi y  x bo’lib, bu funksiya esa 2
x  0 da hosilaga ega emas, ya’ni berilgan funksiyaning birinchi tartibli
hosilasi mavjud, ikkinchi tartibli hosilasi esa mavjud emas.
Misollar qaraymiz.
1). y  x^ bo’lsin (x  0 va R). Bu funksiyaning hosilalarini ketmaket hisoblaymiz:
y   x^1;
y  (y)  ( x^1)   (1)x^{2 ;}
y  (y)  ((1) x^2 )  (1)( 2)x^3

berigan funksiyaning ntartibli hosilasi uchun ushbu
x^^n 1 2 n 1x^n (6.17) formulaning o’rinli bo’lishini matematik induksiya usuli yordamida ko’rsatish qiyin emas. Ma’lumki, n 1 da
y   x^1,
bo’ladi. Endi (6.17) formula n  k da o’rinli, ya’ni
y^k (1)( k 1)x^k
bo’lsin deb, uning n  k 1 da o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Ta’rifga ko’ra yk1  yk . Demak,
yk1  yk   1 2 k 1 xnk  
  -1 -2-k 1 -k x^nk1 .
Bu esa (6.17) formulaning n  k 1 da ham o’rinli bo’lishini bildiradi.
Demak, (6.17) formula ixtiyoriy nN uchun o’rinli.
(6.17) da  ixtiyoriy haqiqiy son. Xususan,  1 bo’lsin. Unda
1
y  funksiyaning ntartibli hosilasi x  1x n  1  2^ n x1n  _x1nn! (6.18)
n 1
bo’ladi.
2). y  ln x (x  0) funksiyaning ntartibli hosilasini topamiz. Bu
1 funk-siyaning hosilasi y  bo’lishidan hamda (6.18) formuladan
x
n1 n1
yn  yn1   1x   1 xn(n 1)!
formula kelib chiqadi. Demak,
ln xn  1nx1(nn 1)! x  0.
3). y  a ^x a  0, a 1 bo’lsin. Bu funksiyaning hosilalarini ketma-ket hisoblaymiz:
y  a ^x lna,
y  (a x lna)  a x ln 2 a, y  (a ^x ln ² a)  a ^x ln ³ a,
     
Bu munosabatlarga qarab y  a ^x funksiyaning ntartibli hosilasi uchun ushbu
yn  a x ln n a
formulani yozamiz. Uning to’g’riligi yana matematik induksiya usuli yordamida osongina isbotlanadi. Demak,
ax n  ax lnn a.
Xususan, nN uchun e^x ^n  e^x.
4). y  sin x bo’lsin. Ma’lumki , bu funksiya uchun y  cos x . Biz uni
quyidagi
y  (sin x)  cos x  sin^_x  ^{ }_
 2 
ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra y  sin x funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini hisoblaymiz:
y  (cos x)  sin x  sin^_x  2^_,
 2 
y  (sin x)  cos x  sin_^x  3^_^,
 2 
y^IV  (cos x)  sin x  sin^_x  4^_.
 2 
Bu ifodalardan esa y  sin x funksiyaning ntartibli hosilasi uchun
yn  sinx  n  
 2 
formula kelib chiqadi. Uning to’g’riligi yana matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi. Demak,
(sin x)^n  sin^_x  n ^ _^ .
 2 
Xuddi shunga o’xshash
(cos x)^n  cos^_x  n ^ _^.
 2 