Funksiyaning hosilasi va differensiali

3⁰. Funksiyaning uzluksiz bo’lishi bilan uning hosilaga ega bo’lishi orasidagi bog’lanish. f (x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lib, x₀ (a, b) nuqtada chekli f (x₀) hosilaga ega bo’lsin:
f (x0)  limx0 yx  limx0 f (x0  xx)  f (x0) .
Ushbu
y
  f (x₀)
x
(6.2)
miqdor x ga bog’liq va t 0 da nolga intiladi.
(6.2) tenglikdan topamiz:
y  f (x₀)x x.
(6.3)
Odatda (6.3) formula funksiya orttirmasining formulasi deb ataladi. Bu formuladan
limx0y  limx0( f (x₀)x  x)  0
kelib chiqadi.
Shunday qilib, f (x) funksiya x₀ (a, b) nuqtada chekli f (x₀) hosilaga ega bo’lsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.

2−eslatma. Funksiyaning biror nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, y  x funksiya x  0 nuqtada uzluksiz, ammo u shu nuqtada hosilaga ega emas.
2−§. Teskari funksiyaning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi
1⁰. Teskari funksiyaning hosilasi. f (x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiya teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaning (qaralsin 5-bob) barcha shartlarini qanoatlantirsin.
1−teorema. f (x) funksiya (a, b) da uzluksiz va qat’iy o’suvchi
(qat’iy kamayuvchi) bo’lsin. Agar f (x) funksiya x₀ (a, b) nuqtada f (x₀)  0 hosilaga ega bo’lsa, bu funksiyaga teskari x  f ^1(y) funksiya x₀ nuqtaga mos bo’lgan y₀ (y₀  f (x₀)) nuqtada hosilaga ega va
f 1yyy0  1
f (x₀)
tenglik o’rinli bo’ladi.
◄ f (x) funksiya x₀ (a, b) nuqtada f (x₀)  0 hosilaga ega bo’lsin.
(6.3) formuladan foydalanib topamiz:
f (t)  f (x₀)  f (x₀)(t x₀) (t x₀) (t(a, b)) (6.4) bunda t  x₀ da (t) 0. Endi f (x) funksiyaning t nuqtadagi qiymatini f (t)  z deb belgilaymiz. Unda t  f ^1(z) shuningdek, x₀  f ^1(y₀) bo’ladi. Natijada (6.4) tenglik ushbu
z  y₀  f (x₀)( f ^1(z)  f ^1(y₀)) ( f ^1(z))( f ^1(z)  f ^1(y₀)) 
¹(z)  f ^1(y₀))( f (x₀) ( f ^1(z)))
 ( f ^
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikdan esa
f 1(z) f 1(y0) 1
 ^1
z  y₀ f (x₀)( f (z))
kelib chiqadi. z  y₀ da limitga o’tib topamiz:
^zlim^y0 f ^1(zz) yf₀^1(y₀⁾  ^zlim^y0 f (x₀) ¹ ( f ₁(z))  f _(¹x₀) .
Demak,
f ^1(z)  f ^1(y0) 1 . lim 
zy0 z  y0 f (x0)
Hosila ta’rifiga ko’ra
zlimy0 f 1(zz) yf01(y0)  ( f 1(y))yy0
bo’lib, bundan
( f 1(y))yy0  1
f (x₀)
tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi.►
2⁰. Murakkab funksiyaning hosilasi. u  f (x) funksiya (a, b) intervalda, y  F(u) funksiya esa (c, d) intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar yordamida y  F( f (x))  (x) murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin (bunda, albatta, x(a, b) da u  f (x)(c, d) bo’lishi talab qilinadi). 2-teorema. Agar u  f (x) funksiya x₀ (a, b) nuqtada f (x₀) hosilaga ega bo’lib, y  F(u) funksiya esa x₀ nuqtaga mos u₀ (u₀  f (x₀)) nuqtada F(u₀) hosilaga ega bo’lsa, u holda
murakkab funksiya  (x)  F( f (x)) ham x₀ nuqtada hosilaga ega va
(x₀)  (F( f (x)))_xx0  F(u₀) f (x₀) (6.5) formula orinli bo’ladi.
◄ u  f (x) funksiya x₀ (a, b) nuqtada, y  F(u) funksiya esa mos u₀ (u₀  f (x₀)) nuqtada hosilaga ega bo’lsin. (6.3) formuladan foydalanib
topamiz:
f (t)  f (x₀)  f (x₀))(t x₀) ( t)(t x₀), (6.6)
F(s)  F(u₀)  F(u₀)(su₀) (s)(su₀), (6.7) bunda
lim (t)  0, lim (s)  0.
tx₀ su₀
Murakkab funksiya  (x)  F( f (x)) ning, x₀ nuqtadagi orttirmasi  (t) (x₀) ni yuqoridagi (6.6) va (6.7) munosabatlardan foydalanib, quyidagicha yozish mumkin:
 (t)  (x₀)  F( f (t))  F( f (x₀))  F(u₀)( f (x₀)(t  x₀)  (t)(t  x₀)) ( f (t))( f (t)  f (x₀))  F(u₀) f (x₀)(t  x₀) 
 F(u₀)(t)(t  x₀) ( f (t))( f (t)  f (x₀)).
Endi bu tenglikning har ikki tomonini t  x₀ ga bo’lib, so’ngra t  x₀ da limitga o’tamiz:
 (t)  (x⁰) lim 
tx0 t - x0
f (t)  f (x0).
 F(u0) f (x0)  F(u0) tlimx0 (t)  tlimx0 ( f (t)) tlimx0 t - x0
Bundan t  x₀ da  (t) 0, ( f (t)) 0 ekanini e’tiborga olsak, (6.5) formula kelib chiqadi. ►
3−§. Hosila hisoblashning sodda qoidalari.

Elementar funksiyalarning hosilalari

Biz ushbu paragrafda ikki funksiya yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatining hosilalarini topish qoidalarini keltiramiz. So’ngra elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblaymiz. f (x) va g(x) funksiyalar (a, b) intervalda aniqlangan bo’lsin.
1⁰. Ikki funksiya yig’indisi hamda ayirmasining hosilasi.
Agar f (x) va g(x) funksiyalarning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda f (x) g(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va
( f (x)  g(x))  f (x)  g(x) (6.8)
formula o’rinli bo’adi.
◄ Haqiqatan ham, f (x) va g(x) funksiyalar x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsin:
f (x)  lim f (t)  f (x) , g(x)  lim g(t)  g(x) . tx t  x tx t  x
Endi F(x)  f (x) g(x) deb belgilab, topamiz:
F(t) F(x) f (t) f (x) g(t) g(x)

  . t  x t  x t  x
Bu tenglikda t  x da limitga o’tsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
F_(x) _ lim F(t)  F(x) _ lim f (t)  f (x) _ lim g(t)  g(x) _
tx t  x tx t  x tx t  x
 f (x)  g(x).
Bu esa (6.8) formulani isbotlaydi.►
2⁰. Ikki funksiya ko’paytmasining hosilasi. Agar f (x) va g(x) funksiyalarning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda f (x)g(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va
( f (x) g(x))  f (x) g(x) f (x) g(x) (6.9) formula o’rinli bo’ladi.
 (t) (x)
◄  (x)  f (x)g(x) deb belgilab, nisbatni quyidagi t  x
 (t)  (x) f (t)  f (x) g (t)  g (x)

 g(x)  f (t) t  x t  x t  x
ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglikda t  x da limitga o’tib, topamiz:
(x)  lim  (t)t x (x)  limtx f (tt)  xf (x) g(x)  limtx g (t)t  xg (x) f (t)  t x  
 g(x)lim f (t) ^{ f (x)} _ lim f (t)lim ^{g (t)  g (x)} _ g(x) f (x)  f (x) g(x).
tx t  x tx tx t  x
Bu esa (6.9) formulani isbotlaydi.►
3⁰. Ikki funksiya nisbatining hosilasi. Agar f (x) va g(x) funksiya-larning har biri x(a, b) nuqtada f (x) va g(x) hosilalarga ega f (x) bo’lib, g(x)  0 bo’lsa, u holda funksiya ham x nuqtada hosilaga g(x)
ega va

 f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
 g(x) _  g2(x) (6.10) formula o’rinli bo’ladi.
◄ (6.10) formulani isbotlashdan avval funksiya hosilasi ta’rifidan
^{foydalanib, 1} (g(x)  0) funksiyaning x(a, b) nuqtadagi hosilasini g(x)
hisoblaymiz:
1 1 g(x)  g(t)
 
 1  g(t) g(x) g(t)g(x)
 g(x)   limtx t  x  limtx t  x 
 g(x1)  limtx g(t)t  gx(x)  limtx g1(t)   gg₂((xx)) .
Demak,

 1  g(x)
_ _g(x) _   _g2_(x) (g(x)  0). (6.11)
Endi (6.9) va (6.11) formulalardan foydalanib topamiz:
  
 f (x)  1  1  1 
 g(x)    f (x) g(x)  f (x) g(x)  f (x) g(x) 

f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)  f (x)g(x)
 g(x)  g2(x)  g2(x) .
Bu (6.10) formulaning o’rinli ekanini isbotlaydi.►
1−natija. 1). Yuqorida keltirilgan (6.8) va (6.9) formulalar yordamida qo’shiluvchilar hamda ko’paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan holda ham tegishli formulalarni isbotlash mumkin.
2). (6.9) formuladan g(x)  c, c  const bo’lganda
(cf (x))  cf (x)
formula kelib chiqadi. Bundan o’zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqari-ga chiqarish mumkinligi kelib chiqadi.